К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы

1. Какое уравнение называется

а) общим уравнением плоскости;

б) уравнением плоскости в отрезках?

2. Какие уравнения называются параметрическими уравнениями плоскости?

3. Каков геометрический смысл коэффициентов каждого из перечисленных в пунктах 1-2 уравнений прямой?

4. Какое уравнение называется

а) векторным уравнением плоскости;

б) векторно-параметрическим уравнением плоскости?

5. Любую ли плоскость можно задать

а) общим уравнением;

б) уравнением в отрезках;

в) параметрическими уравнениями?;

6. Сколько существует для заданной плоскости

а) общих уравнений;

б) уравнений в отрезках;

в) параметрических уравнений?

7. Пусть плоскость задана одним из уравнений, перечисленных в пунктах 1-2. Как перейти для этой плоскости к другим из этих уравнений?

8. Как установить, лежит ли заданная точка М00;y0;z0) на заданной плоскости (рассмотрите различные способы задания плоскости)?

9. Найдите угол между плоскостями:

а) A1x+B1y+C1Z+D1=0 и A2x+B2y+C2 Z+D2=0;

б) Ax+By+C Z+D=0 и x=x0+lu+ К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , y=y0+mu+ К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru ; z=z0+nu+ К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru

в) К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru и x=x0+lu+ К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , y=y0+mu+ К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , z=z0+nu+ К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru .

10. Запишите условия

а) совпадения двух плоскостей;

б) параллельности двух плоскостей;

в) пересечения двух плоскостей;

г) перпендикулярности двух плоскостей.

(Рассмотрите различные сочетания способов задания двух плоскостей).

11. Как вычислить расстояние от точки М00;y0;z0) до заданной плоскости (рассмотрите различные способы задания плоскости с помощью уравнений из пунктов 1–2)?

12. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты уравнения плоскости, которая

а) параллельна координатной плоскости 0xz

б) параллельна оси ординат;

в) проходит через начало координат?

13. Пусть плоскость задается уравнением Ax+By+Cz+D=0. Запишите условие принадлежности двух точек М11;y1;z1), М22;y2;z2) одному полупространству, определяемому этой плоскостью.

Примеры:

1. Запишите общее уравнение плоскости, содержащей точки М1(1;2;3), М2(0;4;1), М3(3;1;1)

Р е ш е н и е: Векторы К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru являются направляющими для данной плоскости. Значит, точка М(х;у;z) принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда векторы К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru компланарны, что эквивалентно тому, что

их смешанное произведение равно нулю, т. е. К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru . Отсюда получаем К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru или К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru (рис.3).

О т в е т: К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru

2. Запишите параметрические уравнения плоскости, содержащей точки К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru .

Р е ш е н и е: При таком способе задания плоскости сразу записывается ответ в виде параметрических уравнений: берем в качестве начальной точки этой плоскости, например, точку К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , в качестве направляющих векторов, например, векторы К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru и К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru Тогда получим (рис.3).

О т в е т: К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru .

3. Запишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М0(1;–2;3) и отсекает на координатных осях отрезки одинаковой величины.

Р е ш е н и е: Уравнение искомой плоскости удобно здесь находить в виде уравнения в отрезках: К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru . Исходя из геометрического смысла коэффициентов этого уравнения и условия задачи, имеем, что a=b=c. Учитывая, что точка М0 лежит на этой плоскости, находим а: К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru . Таким образом, получим

О т в е т: К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru .

4. Запишите общее уравнение плоскости К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru .

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru Р е ш е н и е: : Из геометрического смысла коэффициентов параметри ческих уравнений плоскости получаем, что точка М0(1;2;1) принадлежит этой плоскости, а векторы К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru параллельны ей. Но тогда вектор

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru

будет ортогонален этой плоскости. Поэтому общее уравнение этой плоскости можно задать в виде:

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru . Подставляя в это уравнение координаты точки К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , вычислим К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru :

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru . Отсюда К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru . Следовательно,

О т в е т: К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru (рис.4).

5.Выясните, которая из координатных плоскостей принадлежит пучку, определяемому плоскостями К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru и К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru .

Р е ш е н и е: Как известно, уравнение любой плоскости этого пучка может быть записано в виде: К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru или К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru (**),

где К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru и К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru одновременно не равны нулю.

Так как любая из координатных плоскостей проходит через начало координат, то должно быть, что К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru . Отсюда К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , но тогда из уравнения (**) получаем К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru или К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , так как К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru .

О т в е т: К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru .

6. Напишите уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы между плоскостями К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru и К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru .

Р е ш е н и е: Искомые плоскости – множество точек, равноудаленных от заданных плоскостей.

Пусть К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru - точка этих искомых плоскостей .

Тогда К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru , что эквивалентно

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru . Раскрывая модуль, получим два линейных уравнения: 1) К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru или К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru ; 2) К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru или К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru . Эти уравнения и задают искомые плоскости.

О т в е т: К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru и К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru .

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru по теме “ПЛОСКОСТЬ”

1. Дана плоскость К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru .

1) Укажите какой-либо нормальный вектор этой плоскости.

2) Укажите какой-либо направляющий вектор этой плоскости.

3) Принадлежит ли точка К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru заданной плоскости?

4) Найдите величины отрезков, отсекаемых этой плоскостью на координатных осях.

5) Выпишите какие-либо параметрические уравнения заданной плоскости.

6) Вычислите расстояние от точки М(2;0;1) до заданной плоскости.

7) Лежат ли точки К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru и К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru в одном полупространстве, определяемом заданной плоскостью?

8) Вычислите косинус угла между заданной плоскостью и плоскостью

x+3y+2z-7=0.

2. Вычислите значение параметра D, при котором плоскость

x-3y+4z+D=0 проходит через точку М(4;1;0).

3. Вычислите значение параметров А и С, при которых плоскости x+5y-7z+1=0 и Аx-10y+Cz-7=0 параллельны

4. Запишите множество, задающее все плоскости, параллельные вектору К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru .

5. Дана плоскость x=2-u+3v, y=u+v, z=3-u.

1) Укажите два какие-либо неколлинеарные направляющие векторы этой плоскости.

2) Укажите какой-либо нормальный вектор этой плоскости.

3) Установите, лежит ли на этой плоскости точка М(4;2;2).

4) Запишите какое-либо общее уравнение этой плоскости.

5) Запишите какие-либо параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru параллельно заданной плоскости.

6) Запишите для заданной плоскости уравнение в отрезках.

7) Вычислите расстояние от точки К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru до заданной плоскости.

8) Вычислите косинус угла между заданной плоскостью и плоскостью

4x+y+3z-1=0.

6. Запишите какие-либо параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru параллельно векторам К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru и К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru .

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы - student2.ru

ПРЯМАЯ

В ПРОСТРАНСТВЕ

Наши рекомендации