Статич.моменты.Центр тяжести плоской фигуры
Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной d для всех частей фигуры.
Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b на полоски ширины Dx1, Dx2, . . ., Dxn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность d. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием Dxi и высотой f2(x)-f1(x), где x, то масса полоски будет приближенно равна
(i = 1, 2, . ,n).
Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:
Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:
Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:
Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности d фигуры (в процессе вычисления d сократилось).
Св-ва неопр-ного интеграла
1) ![]() |
По опред. 1 имеем: |
( ![]() |
f(x) 0 |
2) d( ![]() |
d( ![]() |
f(x) |
3) ![]() |
d( ![]() |
![]() |
4) ![]() |
находим произв-ю от левой части: |
( ![]() ![]() |
Находим произв=ю от правой части: |
( ![]() |
5) ![]() |
Произв-я от левой части:(1 св-во) |
![]() |
Произв-я от правой части: |
(a ![]() |
Двойной интеграл в полярных коор-тах
Часный случай |
![]() |
I= ![]() |
P=I |
![]() ![]() |
Выражение pdpd ![]() |
Таблица интегралов
1) ![]() |
2) ![]() ![]() |
3) ![]() |
4) ![]() |
5) ![]() |
6) ![]() |
7) ![]() |
8) ![]() |
9) ![]() |
10) ![]() |
11) ![]() |
12) ![]() |
13) ![]() |
14) ![]() |
15) ![]() |
16) ![]() |
17) ![]() |
18) ![]() |
Замена перем-ных в двойном интеграле
Рассмотрим ![]() |
x=(u,v), y=(u,v)-однозначные переменные ф-ии имеющие непрерывные производные |
Пусть также эта замена переменных переносит область ![]() ![]() |
Тогда справедлива след формула замена переменных интегрирован в двойном интеграле. |
![]() |
Где I- ![]() |
Интегрирование методом замены прем-х