Определение производной
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Конспект лекций
1 Производная функции, ее геометрический и механический смысл
1.1 Примеры, приводящие к понятию производной при неравномерном движении
дает среднюю скорость.
Пусть в некоторый момент времени точка занимает положение , а через
–
(рис. 1).
![]() |
Рисунок 1 – |
,
,
.
Мгновенная скорость, получится как
1.2 Процесс наполнения сосуда , зависимость наполненного сосуда от времени
,
.
Определение производной
Пусть . Аргумент
получил приращение
, следовательно, и функция
получила приращение
, то есть
.
,
тогда
,
.
Заметим, что для любой переменной производная
имеет определенное значение, то есть производная является функцией от
. Обозначение:
,
,
;
при
или
.
Операция нахождения производной называется дифференцированием этой функции.
Пример. Вычислить производную функции .
Решение. Пусть переменная получила приращение
, то есть
. Найдем приращение функции как
, следовательно
,
;
.
Рассмотрим график функции (рис. 2).
![]() |
Рисунок 2 – |
Угловой коэффициент секущей :
.
Если , то секущая
, поворачиваясь вокруг точки
, в пределе переходит в касательную
, так как касательная является предельным положением секущей, когда точки пересечения сливаются.
,
.
Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна угловому коэффициенту касательной:
– уравнение касательной.
Подобным образом находится уравнение нормали к кривой, то есть перпендикуляр к касательной в точке касания имеет вид
.
Геометрический смысл производной дает возможность, если дан график, проследить за наклоном касательной к нему и сразу построить ориентировочный график производной.
Отметим, что если при некотором значении
обращается в
(при
), то в соответствующей точке угловой коэффициент графика касательной равен
, то есть касательная параллельна оси
; если производная претерпевает скачок, то и касательная поворачивается скачком, то есть график имеет излом, если функция уходит в
, то и производная уходит в
.