Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница.

y=f(x) интегрируема на отрезке [a, b], $_a^bòf(x₁)d x₁. "xÎ[a, b] $_a^xòf(x₁)dx₁=I(x) – интеграл с переменным верхним пределом.

x®I(x)

Теорема 1: функция y=I(x)=_a^xòf(x₁)dx₁ непрерывна на промежутке [a,b]. Докажем, что Dx®0ÞDI(x)®0.

Доказательство: xÎ[a,b], Dx такое, что x+DxÎ[a,b].

DI(x)=_x^x+Dxòf(x₁)dx₁

DI=I(x+Dx)-I(x)=_x^x-Dxòf(x₁)dx₁- _a^xòf(x₁)dx₁

|DI|=| _x^x+Dxòf(x₁)dx₁|£ _x^x+Dxò|f(x₁)|dx₁£M_Dx

|f(x₁)| £M.

Теорема 2: Если y=f(x) непрерывна в точке xÎ[a,b], то $ I’(x)=f(x).

DI(x)=_x^x+Dxòf(x₁)dx₁=f(x) Dx.

xÎ[a,b]

DI(x)/Dx=f(x)

Dx®0; x®x; f(x) ®f(x)

lim (DI/Dx)=f(x)

^Dx®0

Следствие из теоремы 2: если y=f(x) непрерывна и интегрируема на [a,b], то I(x)– первообразная для y=f(x) на [a,b].

Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл от дифференциала функции F(x) равен приращению F(x) функции на промежутке интегрирования: _a^bòdF(x)=F(b)-F(a). Т.е.: если F(x) есть какая-либо первообразная подынтегральной функции f(x), то: _a^bòf(x)dx=F(b)-F(a)

11. Замена переменной в определенном интеграле и формула интегрирования по частям. Примеры.

Формула интегрирования по частям.

Удобнее использовать ту же формулу, которая применялась с неопределенном интеграле. Интегрированием по частям называется сведение данного интеграла òUdV к интегралу òVdU с помощью формулы _x1^x2òUdV=U*V| _x1^x2- _x1^x2òVdU. За U принимается та функция, интеграла которой нет в таблице, U интегрируется «хуже», V – «лучше».

Замена переменной в определенном интеграле

Для вычисления _x1^x2òf(x)dx можно ввести вспомогательную переменную z, связанную с x некоторой зависимостью. Подынтегральное выражение преобразуется как при неопределенном интегрировании к виду f₁(z)dz. Кроме того надо заменить пределы интегрирования x₁; x₂ новыми пределами z₁; z₂ с таким расчетом, чтобы эти значения переменной z соответствовали данные значения x₁; x₂ переменной x. Если это возможно, то имеем _x1^x2òf(x)dx=_z1^z2òf₁(z)dz

Примеры:

1.₀^p/2òxsinxdx=₀^p/2òxd(-cosx)=-xcosx|₀^p/2 +₀^p/2òcosx dx=sinx|₀^p/2=1

14. Задача Коши, един-ое реш-е. Метод Эйлера.

y₀=y(x₀)- наз-ся нач-м услов-м задачи, нахош-я реш-я у-я y`=f(x;y); удовл. нач. услов. наз-ся задачей Коши. Т.сущ-я един-ти реш-е задачи Коши: рассмот-м прямоу-к Д={(x;y)½½x-x<sub>0</sub>½<a,½y-y<sub>0</sub>½<в½}. Пусть в прям-ке определена фун-я f(x;y), М=мах½f(x;y)½, (x;y)ÎД. Говорят, что фун-я f(x;y) удовл-ет услов-ю Липшица в прямоу-ке Д, если вып-ся нерав-во ½f(x<sub>1</sub>;y<sub>1</sub>)-f(x<sub>2</sub>;y<sub>2</sub>)½< k½(y1-y2)½, где (x<sub>1</sub>;y<sub>1</sub>)ÎД, (x<sub>2</sub>;y<sub>2</sub>)ÎД. Если фун-я f(x;y) диф-ма по y и имеет огранич-ю произ-ю в прям-ке Д, то она удовл-т усл-ю Липшица. Теорема: пусть для фун-и f(x;y) выпол-ся в прям-ке след-и услов-я: фун-я f(x;y) удовл-ет услов-ю Липшица в прямоуке Д, и явл-ся непрерывной по оси х, тогда задача Коши имеет ед-е реш-е y=y(x), при xÎ[x<sub>0</sub>-h;x<sub>0</sub>+h], где h-min из двух чисел h=min(a;в/М). Эйлер: y`=lim_Dx®0(y(x+Dx)-y(x))/Dx»(y(x+Dx)-y(x))/Dx. Поэтому дуф-е ур-е можно заменить: (y(x+Dx)-y(x))/Dx=f(x,y(x)), y(x+Dx)= y(x)+Dxf(x,y(x)).Выберем Dx достаточно маленьким, тогда с учётом нач-х усл-й получ-м: y(x₀+Dx)= y(x₀)+Dxf(x₀;y(x₀)). Тогда y_k=y_k-1+Dxf(x_k+y_k-1)- метод Эйлера.

13.Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление длины дуги, площади плоской фигуры, объема тела вращения, площадь поверхности тел вращения в декартовых, полярных координатах и от параметрических функций.

Длина дуги кривой (в декартовых координатах).

Пусть дана кривая y=f(x). Найдем длину дуги АВ этой кривой, заключенной между вертикальными прямыми х=а и х=b. Длиной дуги АВ называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю.

s = lim _i=1ⁿåDs_i

^maxDsi®0

s_n=_i=1ⁿåDs_i –длина ломаной, вписанной в дугу АВ.

Докажем, что если на отрезке a£x£b функция f(x) и её производная f’(x) непрерывны, то этот предел существует.

Пусть Dy_i=f(x_i)-f(x_i-1). Тогда

Ds_i=Ö(Dx_i)²+(Dy_i) ²=Ö1+(Dy_i/Dx_i) ² Dx_i

По теореме Лагранжа имеем: (Dy_i/Dx_i)=(f(x_i)-f(x_i-1))/(x_i-x_i-1)=f’(x_i),

где x_i-1<x_i< x_i. Значит Ds_i=Ö1+[f’(x_i)] ²Dx_i.

Длина вписанной ломаной:

s_n=_i=1ⁿåÖ1+[f’(x_i)] ²Dx_i

Т.к. f’(x) непрерывна, то функция Ö1+[f’(x_i)]² тоже непрерывна. Поэтому существует предел написанной интегральной суммы, равный определенному интегралу:

s= lim _i=1ⁿåÖ1+[f’(x_i)]²Dx_i= _a^bòÖ1+[f’(x_i)]²dx.

^maxDsi®0

Формула для вычисления длины дуги: s= _a^bòÖ1+[f’(x)]²dx= _a^bòÖ1+(dy/dx)²dx.

В полярных координатах. Пусть дано ур-ние p=f(q) кривой (p - полярный радиус, q - полярный угол). x=p cosq, y=p sinq. Подставим первоначальное выражение

x=f(q) cosq, y=f(q) sinq. Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой. Воспользуемся формулой: s= _a^bòÖ[j’(t)]+[y’(t)]²dt

dx/dq=f’(q) cosq-f(q) sinq

dy/dq=f’(q) sinq+f’(q) cosq.

(dx/dq) ²+( dy/dq) ²=[f’(q)]²+[f(q)]²=p’²+p². Следовательно: s= _q0^qòÖp’²+p²dq

Объем тела вращения. Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью ОХ и прямыми x=a, x=b. Произвольное сечение тела пл-тью, перп. оси ОХ, есть круг с площадью Q=py²=p[f(x)]². Объем тела вращения: V=p_a^bòy²dx=p_a^bò[f(x)]²dx.

Площадь поверхности тел вращения. Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг ОХ. Найдем площадь её на a£x£b. Пусть y=f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную во всех точках отрезка [a,b].

Проведем хорды, длины которых обозначим через Ds₁, Ds₂, …, Ds_n. Каждая хорда при вращении опишет усеч. конус с площадью поверхности

DP_i=2p(y_i-1+ y_i)/2Ds_i.

Но Ds_i=Ö(Dx_i)²+(Dy_i) ²=Ö1+(Dy_i/Dx_i) ² Dx_i.

Применим формулу Лагранжа

Dy_i/Dx_i=(f(x_i)-f(x_i-1))/(x_i-x_i-1)ºf’(x_i), где x_i-1<x_i< x_i; Þ

Ds_i=Ö1+f’²(x_i) Dx_i;

DP_i=2p(y_i-1+ y_i)/2Ö1+f’²(x_i) Dx_i.

Площадь поверхности, описанной ломаной:

P_n=p_i=1ⁿå[f(x_i-1)+f(x_i)] Ö1+f’²(x_i) Dx_i.

Предел этой суммы, когда наибольшее звено стремится к нулю – площадь поверхности вращения.

P = lim _i=1ⁿå[f(x_i-1)+f(x_i)] Ö1+f’²(x_i) Dx_i=

^maxDsi®0

lim p _i=1ⁿå2f(x_i) Ö1+f’²(x_i) Dx_i

^maxDsi®0

или P=2p_a^bòf(x) Ö1+f’²(x_i) dx.

Площадь плоской фигуры (в декартовых координатах). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ и линиями x=a, x=b. S_трап=_a^bòf(x)dx.

Трапеция ограничена только линиями x=a;y=f₁(x);f₁(x)£f₂(x) и x=b;y= f₂(x);"xÎ[a,b].

Трапеция ограничена горизонтальными линиями y=c x=y₁(y); y=d x=y₂(y)

y₁=y₂ ; yÎ[c,d] S=_c^dò(y₂(y)- y₁(y))dy.

В полярных координатах. Пусть дана кривая p=p(j), ограниченная линиями j=a; j=b. jÎ[a; b] , a<b. A=A₀®A₁®A₂®_… ®A_n=B; a=j₀<j₁<…<j_n=b;

[j_k; j_k+1]Î[a; b]; S=åDS_k; DS_k=1/2p(j_k)*p(j_k+1)sinj_k.

S=1/2åp2(j’ _k)* Dj_k®1/2 _a^bòp’(j)dj.

15. Дифференциальные уравнения первого порядка с раз­деляющимися перемен­ными и однородные.

Порядком диф-го урав-я- наз-ся наивысший порядок произ-й, вход-й в диф-е ур-е.

Уравнения первого порядка: y’=f(x, y).

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

f(x, y)=f₁(x)*f₂(y)~dy/dx=f₁(x)*f₂(y)~dy/dx=f₁(x)dx

y’=dy/dx; ∫dy/dx=∫f₁(x)dx; φ₂(y)=φ₁(x)+C

2.Однородные уравнения первого порядка.

f(x, y)=f’(y/x)

Для того, чтобы найти реш-е однородного диф-го ур-я, делается замена y/x=uÞy=xu.(xu)`=f(u), u+xu`=f(u), xu`=f(u)-u, x(du)/dx=f(x)-u. du/(f(u)-u)=dx/x. G(u)=Ln½x½+c. G(y/x)=Ln½x½+c- общее реш-е.