Описание экспериментальной установки

O
Рис. 1.1 – Маятник Обербека
r
m
Барабан
m1

Маятник Обербека показан на рисунке 1.1. Он состоит из барабана, который может вращаться вокруг своей оси O, и четырёх стержней, скрепленных с ним. На каждый стержень надета привеска, которую можно перемещать вдоль стержня и фиксировать её с помощью стопорного винта в любом положении стержня. Все четыре привески (на рисунке они обозначены цифрами 1, 2, 3, 4) – одинаковые, у них одна и та же масса m1, и в данной лабораторной работе они устанавливаются на одном и том же расстоянии r от оси вращения вала O. При этом маятник называется симметричным.

Барабан с помощью двух подшипников укреплён на неподвижном горизонтальном валу, который, в свою очередь, крепится на вертикальной стойке (стойка на рисунке 1.1 не показана), поэтому ось вращения барабана O является фиксированной (закреплённой). Стойка с помощью крепёжных винтов устанавливается на краю лабораторного стола. На барабан намотана нить, свободный конец которой соединён с грузом массой m. Под действием силы тяжести груз опускается вниз (на пол), нить натягивается и приводит во вращение маятник.

Краткая теория

В самом общем случае основной закон динамики вращательного движения утверждает, что скорость изменения момента импульса системы L равна сумме моментов внешних сил М, действующих на систему[14].

. (2.1)

Если система – это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной (закреплённой) оси, то закон (2.1) записывают в другом виде:

, (2.2)

где e – угловое ускорение тела, I – момент инерции тела относительно его оси вращения[15]. В этом виде основной закон динамики вращательного движения аналогичен второму закону Ньютона , и он означает, что угловое ускорение e телу создают моменты внешних сил, действующих на него. Маятник Обербека как раз и является твёрдым телом с закреплённой осью вращения, поэтому для него справедлив закон (2.2). Задачей данной лабораторной работы является экспериментальная проверка этого закона, а именно: необходимо экспериментально подтвердить, что величина углового ускорения маятника Обербека e при неизменном значении суммарного момента внешних сил M обратно пропорциональна моменту инерции маятника I относительно его оси вращения O. Исследованию зависимости углового ускорения маятника от момента внешних сил M посвящена другая лабораторная работа[16].

Для выполнения поставленной задачи необходимо, прежде всего, определить способ измерения величин e и I.

2.1. Измерение углового ускорения e

Вращательное движение маятника связано с поступательным движением груза. Это выражается в том, что в любой момент времени циклическая частота вращения маятника w (угловая скорость) однозначно связана со скоростью опускания груза 𝑣:

, (2.3)

где R – радиус барабана. Дифференцирование этого уравнения по времени даёт:

. (2.4)

Так как по определению – это угловое ускорение e, а – это ускорение a поступательного движения груза, то из (2.4) следует:

. (2.5)

Таким образом, для измерения углового ускорения e можно измерить ускорение движения груза a и радиус барабана, а затем воспользоваться формулой (2.5). Радиус барабана можно измерить прямым способом – с помощью штангенциркуля. А измерение ускорения груза можно произвести косвенным способом на основании двух следующих фактов. Во-первых, эксперименты, проводимые с маятником Обербека в учебной лаборатории, свидетельствуют, что движение груза – равноускоренное, то есть . Во-вторых, одно из уравнений кинематики равноускоренного движения имеет вид:

, (2.6)

где S – это длина пути, пройденного телом за время t. Если измерить высоту h, с которой груз начинает движение, и время t, в течение которого груз падает на лабораторный стол, то применение формулы (2.6) даёт:

. (2.7)

2.2. Измерение момента инерции маятника I

Маятник состоит из двух частей: основная часть и привески. Основная часть – это вал, подшипники, барабан и четыре стержня. Обозначим момент инерции основной части I0. Как измерить значение I0, пока не ясно. Вторая часть маятника – это четыре привески. Они расположены совершенно симметрично, поэтому момент инерции каждой из них I1 – один и тот же. Учтём свойство аддитивности момента инерции и будем считать привески материальными точками (это, конечно, приближение, но оно тем точнее, чем дальше привески отодвинуты от центра, то есть от оси вращения). В этом случае момент инерции привесок Iп относительно оси вращения равен:

, (2.8)

где m1 – масса одной привески, r – расстояние от оси вращения до центра инерции привески.

Итак, момент инерции маятника относительно оси вращения равен:

. (2.9)

Важно, что в этой формуле момент инерции основной части I0 – это постоянная составляющая момента инерции маятника, хотя и неизвестная, а момент инерции привесок Iп можно изменять, передвигая привески, и при этом измерять, используя формулу (2.8). Таким образом, изменение момента инерции маятника I, необходимое для того, чтобы можно было исследовать зависимость между I и e, реализуется в данной лабораторной работе изменением момента инерции привесок Iп. Это означает, что вместо исследования зависимости e(I) реально провести исследование зависимости e(Iп).

Какой должна быть эта зависимость, если исходить из основного закона динамики вращательного движения (2.2)? – Подставив (2.9) в (2.2), получим:

. (2.10)

Зависимость e от Iп – нелинейная, поэтому лучший способ её экспериментальной проверки – это линеаризация, то есть переход от переменных Iп и e к другим переменным, которые зависят друг от друга линейно. Дело в том, что график линейной зависимости – прямая линия, так что её проверка проста: надо нанести на график экспериментальные точки, и если они выстроятся вдоль прямой линии, то это и будет свидетельством правильности теоретической зависимости. Для линеаризации формулы (2.9) достаточно перевернуть дробь:

.

Теперь нетрудно догадаться, какую надо сделать замену переменных:

. (2.11)

Величина E связана с Iп линейной зависимостью:

. (2.12)

Слагаемое при изменении Iп не изменяется, то есть представляет собой свободный член.

Таким образом, задачу эксперимента можно сформулировать так: исследовать зависимость e(Iп) и убедиться, что величина E, обратная угловому ускорению e, зависит от Iп линейно.

Кроме того, если эксперимент подтвердит указанную линейную зависимость, то есть на графике в координатах (Iп; E) можно будет через экспериментальные точки провести прямую линию[17], то измерение параметров этой линии позволит получить дополнительную информацию: значение суммарного момента сил M и значение момента инерции I0 основной части маятника.

Пояснение. Уравнение прямой линии в координатах (Iп; E) имеет вид:

. (2.13)

В этой формуле k и c – это не зависящие от Iп числа, называемые параметрами прямой линии. Параметр k называется угловым коэффициентом, параметр c – свободным членом. Если прямая линия проведена, то её параметры можно измерить[18]. Сравнение (2.13) с (2.12) показывает:

, (2.14)

откуда следует, что

. (2.15)

Формулы (2.15) и определяют способ измерения значений M и I0.

Замечание. Утверждение, что величина зависит от момента инерции привесок Iп линейно, основано на том, что суммарный момент внешних сил M не зависит от Iп и поэтому при изменении Iп остаётся неизменным, так что в формуле (2.12) M играет роль константы. Это, строго говоря, неправильно. Значение момента внешних сил M действительно не изменяется при вращении маятника – об этом свидетельствует указанный выше факт, что движение груза – равноускоренное. Однако значение M зависит от момента инерции маятника, поэтому при изменении момента инерции привесок Iп момент внешних сил M не остаётся постоянным.

Влияние Iп на момент M объясняется тем, что при изменении момента инерции маятника I изменяется и сила натяжения нити T, которая вносит основной вклад в момент сил M. Тем не менее, расчёты показывают, что при условии (m – масса груза, R – радиус барабана) влияние I на M становится незначительным, так что предположение можно считать соответствующим истине. Однако для того чтобы условие выполнялось, надо проводить эксперименты с лёгким грузом, а привески устанавливать не слишком близко к оси[19].

Наши рекомендации