Морфизмы алгебраических систем

Пусть даны алгебраические системы: α=<A,∑>, β=<B,∑>. Отображение φ: А→В называется гомоморфизмом системы α в систему β, если выполняются следующие условия:

1) Морфизмы алгебраических систем - student2.ru должно выполняться согласование для функциональных символов Морфизмы алгебраических систем - student2.ru

2) Морфизмы алгебраических систем - student2.ru должно выполняться согласование предикатных символов Морфизмы алгебраических систем - student2.ru

Если φ: А→В – гомоморфизм, то будем писать φ: α→β.

При гомоморфизме сохраняются действия операций и отношения.

Гомоморфизм φ: α→β, являющийся инъекцией, называется мономорфизмом (т.е. Морфизмы алгебраических систем - student2.ru )

Гомоморфизм φ: α→β, являющийся сюръекцией, называется эпиморфизмом, и при этом система β называется гомоморфным образом системы α.

Сюръективный мономорфизм φ: α→β, для которого φ-1 – гомоморфизм, называется изоморфизмом (φ: α≈β).

Изоморфизм φ: α→α называется автоморфизмом системы α.

Утверждения:

1) idA: α≈α (Рефлексивность)

2) если φ: α≈β, то φ-1: β≈α (симметричность)

3) если φ: α≈β и ψ: β≈γ, то φ•ψ: α≈γ (транзитивность)

12. Подсистемы. Термы сигнатуры ∑. Подсистема, порожденная множеством, ее структура.

Алгебраическая система α=<A,∑> называется подсистемой системы β=<B,∑>, если выполняются следующие условия:

1) Морфизмы алгебраических систем - student2.ru

2) для любого функционального символа Морфизмы алгебраических систем - student2.ru , соответствующих функций Морфизмы алгебраических систем - student2.ru и любых элементов Морфизмы алгебраических систем - student2.ru выполняется равенство fα(a1,…, an) = fβ(a1,…, an), т.е интерпретации символа f действуют одинаково на элементах из А

3) для любого предикатного символа Морфизмы алгебраических систем - student2.ru , соответствующих предикатов Рα, Рβ справедливо равенство Морфизмы алгебраических систем - student2.ru , т.е. предикат Рα содержит в точности те кортежи отношения Рβ, которые состоят из элементов множества А.

Если ∑ - функциональная (предикатная) сигнатура, то подсистема α алгебры (модели) β называется подалгеброй (подмоделью).

Теорема: Если β – алгебраическая система, Морфизмы алгебраических систем - student2.ru , Морфизмы алгебраических систем - student2.ru , то существует единственная подсистема Морфизмы алгебраических систем - student2.ru с носителем В(Х), такая, что Морфизмы алгебраических систем - student2.ru и Морфизмы алгебраических систем - student2.ru для любой подсистемы Морфизмы алгебраических систем - student2.ru , для которой Морфизмы алгебраических систем - student2.ru .

Доказательство: В качестве В(Х) рассмотрим пересечение носителей А всех подсистем Морфизмы алгебраических систем - student2.ru , содержащих Х. Т.к. Морфизмы алгебраических систем - student2.ru , то Морфизмы алгебраических систем - student2.ru . Единственность подсистемы β(Х) очевидна.

Подсистема β(Х) из данной теоремы называется подсистемой, порожденной множеством Х в β. Она является наименьшей подсистемой системы β, содержащей множество Х.

Для описания устройства подсистемы β(Х) определим индукцией понятие терма сигнатуры ∑:

1) переменные и константные символы из ∑ есть суть термы

2) если Морфизмы алгебраических систем - student2.ru - n-местный функциональный символ, t1,…, tn – термы, то f(t1,… tn) – терм

3) никаких термов, кроме построенных по пп. 1,2, нет.

Таким образом, термом является любое функциональное выражение, составленное с помощью сигнатурных функциональных символов. Множество всех термов сигнатуры ∑ обозначается через Т(∑).

Пусть t(x1,…, xk) – терм из Т(∑), все переменные которого содержаться среди x1,…, xk; α=<A,∑> - алгебраическая система. Значение терма t при значениях Морфизмы алгебраических систем - student2.ru переменных x1,…, xk (t(a1,..., ak)) определяется по индукции:

1) если t – переменная xi (константный символ с), то значение t есть ai (c).

2) если терм t есть f(t1,…, tn), а t1(a1,…, ak)=b1,…, tn(a1,…, ak)=bn, то t(a1,…, ak)=b(t1,…, tn)

Теорема (о структуре подсистемы, порожденной множеством): Если β=<B,∑> - алгебраическая система, Морфизмы алгебраических систем - student2.ru , то носитель подсистемы Морфизмы алгебраических систем - student2.ru

Доказательство: Индукцией по числу шагов построения терма t получаем, что если Морфизмы алгебраических систем - student2.ru и Морфизмы алгебраических систем - student2.ru , то Морфизмы алгебраических систем - student2.ru для любой подсистемы Морфизмы алгебраических систем - student2.ru , содержащей Х. Поэтому достаточно показать, что множество Морфизмы алгебраических систем - student2.ru замкнуто относительно операций системы β. Пусть Морфизмы алгебраических систем - student2.ru . Тогда Морфизмы алгебраических систем - student2.ru , поскольку Морфизмы алгебраических систем - student2.ru .

Таким образом, носитель подсистемы β(Х) состоит из всех элементов, которые получаются при подстановке элементов из Х в термы.

Наши рекомендации