Температурная зависимость поляризуемости полярных диэлектриков

В полярных диэлектриках молекулы имеют готовый электрический момент. Если внешнего поля нет, то результирующий момент равен нулю (рис). Приложение электрического поля к диэлектрику приводит к ориентации диполей по полю и возникает поляризация диэлектрика. Энергию диполей находящихся в электрическом поле можно описать соотношением:

, (46)

где θ – угол между вектором поляризации диполя и напряженностью электрического поля Е. Наименьшую энергию имеют диполи, ориентированные по направлению поля (θ = 0), а наибольшую - против поля θ = π). Максимальная поляризуемость может быть достигнута при низких температурах Т≈ 0.

, (47)

С повышением температуры возрастает разупорядоченность диполей и уменьшается поляризация диэлектрика.

Предположим, что вероятность dW найти молекулу с дипольным моментом р и потенциальной энергией U ориентированным в элементе телесного угла dΩ равна:

, (48)

где элемент телесного угла:

, (49)

а вероятность состояния молекулы с потенциальной энергией U при данной температуре определяется выражением:

, (50)

Поляризацию диэлектрика в одном из выбранных направлений P_z можно найти, как сумму проекций всех дипольных моментов p_i,z молекул, расположенных в единице объема диэлектрика на направление Z:

(51)

Общая поляризация диэлектрика в направлении действия поля Е_z :

, (52)

Значение среднего косинуса может быть вычислено по формуле:

, (53) в этих вычислениях сделана замена переменной ; и определены приделы интегрирования для угла θ от 0 до π (для η от -1 до +1) и для угла φ от 0 до 2 π. При вычислениях сделана замена

а = рЕ/кТ, (54)

Не трудно видеть, что интеграл в числителе (53) представляет собой первую производную интеграла знаменателя:

, (55)

, (56)

Согласно полученным соотношениям (53), (55) и (56) усредненный косинус будет равен:

, (57)

где L(a) функция Ланжевена.

Подставляя полученное выражение (57) в (52) получим соотношение, которое определяет зависимость поляризации диэлектрика от напряженности электрического поля и температуры:

(58)

Функцию Ланжевена можно представить графически (рис).

Если диэлектрик находится при высоких температурах и небольших величинах напряженности электрического поля то при этом

L(a) = , (59)

В области малых полей и

, (60)

Сопоставляя соотношение (60) с (8) получим выражение для диэлектрической проницаемости:

, (61)

При низкой температуре и Функция Ланжевена

Разделив обе части уравнения (43) на количество дипольных моментов в единице объема получим среднее значение проекции электрического момента молекулы на направление электрического поля

, (62)

, (63)

, (64)

Если в структуре диэлектрика есть молекулы, обладающие индуцированными и готовыми дипольными моментами, то формула для молярной рефракции будет состоять из двух слагаемых:

, (65)

, (66)

Согласно этой формуле из экспериментальной зависимости молярной рефракции от обратной температуры можно определить дипольный момент молекулы:

. (67)