Приложение A. Комплексные числа

Рассмотрим двумерное линейное пространство W.

Каждый элемент z пространства Wв некотором базисе однозначно задается двухкомпонентным столбцом . Если за базисные элементы пространства Wпринять и , то произвольный элемент может быть представлен в виде .

Введем операцию умножения элементов пространства W по следующему правилу:

Определение

Результатом операции умножения элементов и пространства W является элемент также этого пространства .

Определение

Двумерное линейное пространство W, с базисом { , }, в котором введена операция умножения элементов, называется множеством комплексных чисел, а каждый элемент W– комплексным числом.

Замечания

1. Операция умножения комплексных чисел коммутативна и обладает распределительным свойством относительно операции сложения, что следует непосредственно из ее определения.

2. Операция умножения комплексных чисел позволяет ввести операцию деления: частным от деления комплексного числа на ненулевое называется комплексное число такое, что .

3. Нетрудно убедиться, что подмножество комплексных чисел вида , где a – произвольное вещественное число обладает всеми свойствами вещественных чисел, и потому можно говорить, что вещественные числа есть подмножество комплексных чисел.

На практике более употребительна специальная, упрощенная форма записи комплексных чисел: в представлении символ опускается (как бы заменяется не записываемым явно множителем “единица”), а символ заменяется символом i (называемым иногда “мнимой единицей”). Тогда произвольное комплексное число z представимо как , а записи операций с комплексными числами принимают следующий вид:

Данная форма записи удобна тем, что с комплексными числами можно оперировать как с обычными алгебраическими двучленами, если принимать во внимание, что , поскольку

.

Тогда, перемножая комплексные числа как двучлены и заменяя повсюду на число , мы формально приходим к соотношению

,

которое согласуется с введенным выше определением.

Достаточно просто может выполняться также и операция деления:

.

Определение

Для комплексного числа :

1. Вещественное число a называется вещественной частью z и обозначается .

2. Вещественное число b называется мнимой частью z и обозначается .

3. Вещественное число называется модулем z и обозначается .

4. Вещественное число j такое, что и называется аргументом z и обозначается , при условии, что .

5. Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z и обозначается .

Замечание 1

Определения, аналогичные пунктам 1, 2 и 5, могут быть сделаны и для матриц, элементами которых являются комплексные числа.

Замечание 2

Поскольку существует взаимно однозначное соответствие множества радиус–векторов на плоскости и множества комплексных чисел, то комплексные числа можно изображать точками на плоскости.

Свойства комплексного сопряжения

1. Имеют место следующие, легко проверяемые свойства для любых :

2. ;

3. Число z будет вещественным тогда и только тогда, когда ;

4. Число всегда вещественное и неотрицательное;

5. ;

6. Если многочлен с вещественными коэффициентами, имеющий корень l, то этот многочлен также будет иметь и корень . Действительно, пусть , тогда .

Замечание

Если алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет комплексные корни, то они попарно сопряжены, а алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами нечетной степени имеет, по крайней мере, один вещественный корень.

Пример

На множестве комплексных чисел решить уравнение .

Решение

Перепишем это уравнение, приняв, что , то есть . Заметим, что здесь мы воспользовались развернутыми представлениями чисел и .

Выполнив умножение и сложение в правой части уравнения, приходим к равенству . Но поскольку два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда одновременно равны их вещественные и мнимые части, то мы получаем следующую систему нелинейных уравнений относительно вещественных неизвестных a и b :

,

которая, как легко видеть, имеет два решения и . Поэтому исходное уравнение также имеет два решения и .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел

Исходя из определения Пр.3.0.3., можно получить специальную форму записи ненулевых комплексных чисел, называемую тригонометрической:

.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел соответствует заданию точки, изображающей комплексное число, в полярной системе координат.

Пусть

– направляющим элементом полярной оси служит элемент ,

– значение модуля комплексного числа равно r – расстоянию от начала координат до точки, изображающей данное число,

– значение аргумента совпадает с величиной полярного угла j, отсчитываемого против часовой стрелки,

Рис. A.1

тогда комплексное число представимо в тригонометрической форме

.

Другой часто используемой формой представления комплексных чисел, является их экспоненциальная форма, которая получается преобразованием тригонометрической формы по формуле Эйлера:

.

В этом случае из следует, что .

Использование экспоненциальной формы записи комплексных чисел может упростить решение некоторых задач, поскольку при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются).

Например,

или

.

Пример

Найти какое–либо вещественное решение уравнения .

Решение

Из формулы Эйлера следует, что , поэтому данное уравнение можно записать в виде или , где .

Откуда находим, что , то есть или окончательно .