Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность ОИМ
Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
В вычислительной математике, как правило, рассматривается реш. корректно поставленных задач. Это значит, что исходная задача имеет ! реш., кот. в некоторой обл. непрерывно зависит от исходных данных задачи. На практике значения почти всех величин задаются и определяются приближенно. Из-за этого получается погрешность. Провести реш. задачи нужно так, чтобы погрешность полученного реш. не превышала допустимую.
При этом заданы значения угла и гипотенузы
, полученные в результате измерения. Точные знач. исходных величин обозначим соответственно
и
. Таким образом, точное значение площади выражается формулой
Знач. площади через заданные знач. исходных величин определ. выражением . Разность
наз. неустранимой погрешн. Эта погрешн. обусловлена неточным заданием исходных данных. Для вычисления значений тригонометр. функций воспользуемся их разложен. в ряд Тэйлора, тогда придем к равенству
Разность
наз. погрешн. метода. Погрешн. метода можно сделать достаточно малой. В нашем примере математику для этого нужно взять в разложениях достаточно большое значение
. Фактически вычисленное знач. площади обозначим
. Разность
наз. вычислительной погрешн. Уменьшить вычислит. погрешн. можно за счет использования ЭВМ с большей разрядной сеткой, а также за счет программирования операций над числами с большой разрядностью. Полная погрешн.
складыв. из трех указанных видов погрешн.:
.
Неустраним. погрешность. Обозначим – приближ. знач. величины,
- ее точное знач. Погрешн. приближ. величины опред. равенством
.
Абсолют. погрешн. определяется неравенством .
Величину наз. относительной погрешн. приближ. числа
. Если
, то в качестве относител. погрешн. можно взять число
.
Значащими цифрами числа наз. все его ненулевые цифры и нули, кот. находятся между значащими цифрами или явл. представителями сохраненного десятичного разряда.
Значащая цифра приближ. числа наз. верной, если абсолют. погрешн. числа не превосходит половины единицы разряда, в котором эта цифра находится.
Зам.Абсолют. и относит. погрешн. записывают с точностью до одной или двух значащих цифр.
Зам.. Абсолют. и относит. погрешности округляют только с избытком.
Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность ОИМ.
Интерполиров. или интерпол. – один из наиболее часто применяемых на практике методов приближ. ф. Задача интерполиров. ставится след. образом.
Рассм. пр. и фун.
, определ. на отр[a;b]. Задана последов. линейно независимых ф.
. Образуем линейную комбинацию
(1)
Линейную комбинацию вида (1) наз. ОМ(обобщ. многоч) по сист. ф. .
Сист. ф. наз. сист. Чебышева на отр.
, если любой нетривиальный ОМ по этой сист. обращается в нуль на отр.
не более чем в n точках.
В задаче интерполиров. ф. нужно приблизить ОМ (1) так, чтобы знач. ф. и ОМ совпадали в задан. точках:
.(2)
ОМ , удовлетв. условиям (2), наз. ИОМ. При этом ф.
, для кот. строится ИОМ., наз. интерполир. ф., а точки
наз. узлами интерполяции. Равенства (2) будем наз. интерполяц. условиями.
Теорема и ! ИОМ. Для того чтобы для
ф.
при
наборах попарно неравных узлов
существ. ИОМ. по сист. ф.
, необх. и достат., чтобы эта сист. ф. была сист. Чебышева на отр.
. При этом ИОМ будет единственным.
ИМ Лагранжа.
Сист. ф. , (1) в силу основн. теоремы алгебры, явл. сист. Чебышева на любом отр. Для любой ф.
по этой сист. ф. при любом наборе попарно неравных узлов
! ИОМ, кот. может быть записан в виде
(2) где ОМ
не зависят от ф.
.Зафикс. j и рассм. ф.
, приним. в узлах значения
Для этой ф. имеем ИОМ
. Т.к. выполн. интерполяц. услов., то
. Т.о., для ОМ
имеет место свойств.
(3) Если построить ОМ
, удовл. свойств. (3), то тем самым будет построен ИОМ (2). Для сист. ф.
(1),очевидно, многочл.
облад. свойств. (3). Т.о., по сист. ф. (3) ИМ получается в виде
(4). (4) наз. ИМ Лагранжа для ф.
по
. Обозн.
имеем
и
.С использ. многочл.
ИМ Лагранжа примет вид
.
Схема Эйткина
Обозначим через интерполяционный многочлен, построенный для функции
по узлам
В схеме Эйткена сначала для заданного значения аргумента выбирается ближайший табличный узел среди всех табличных узлов
Пусть это будет табличный узел
. Этот табличный узел берется в качестве узла интерполяции
. Соответствующее табличное значение функции
обозначим через
. Это табличное значение можно считать начальным приближением к искомому значению функции в точке
.
Далее из оставшихся табличных узлов снова выбирается ближайший к
. Это будет или
или
Найденный очередной ближайший узел обозначается
,а соответствующее табличное значение обозначается
Затем проводятся вычисления по формуле
(2) Здесь в числителе дроби находится определитель квадратной матрицы второго порядка.
Определяемый формулой (2) многочлен имеет первую степень и является интерполяционным для
с узлами интерполяции
и
.
Проверьте самостоятельно, что действительно выполняются условия интерполяции
.
Будем считать тождественными обозначения и
Тогда формула (2) может быть переписана в виде
.
Вычисленное значение является вторым приближением к искомому значению
. Это значение получается линейной интерполяцией по формуле (2).
На следующем шаге схемы Эйткена из оставшихся табличных узлов находится ближайший к заданному значению
и обозначается через (берется в качестве)
. Новое приближение к искомому значению вычисляется по формуле
(3)
Перед этим предварительно должно быть вычислено , которое вычисляется по формуле, аналогичной формуле (2), в которой все индексы должны быть увеличены на 1. Легко видеть, что при этом будут выполняться условия интерполяции
,
.
Докажите самостоятельно, что для многочлена второй степени , определяемого формулой (3) выполняются интерполяционные условия
,
,
.
Если значения и
совпадают в пределах требуемой точности, то вычисления прекращаются. В качестве окончательного результата берется значение
.
В противном случае выбирается еще один узел интерполяции и проводятся вычисления по формуле
(4)при i=3 и =1,2,3.
Формула (4) является основной вычислительной формулой схемы Эйткена. Формула (2) получается из нее при i=k=1. Формула (3) получается из (4) при i=k=2.