Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме в интегральной форме

Рассмотрим поле точечного заряда q (q > 0) и вычислим поток вектора напряженности через сферу радиуса r, в центре которой нахо-

дится заряд q (рис. 1.5.1). В этом случае вектор E в любой точке вы-бранной сферической поверхности будет перпендикулярным поверх-ности и одинаковым по модулю: En = E = const.

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме в интегральной форме - student2.ru

S * S r E  
       

n

q

Рис. 1.5.1

Полное число линий, пересекающих сферическую поверхность S, будет равно:

ФE N dN En dS EdS E dS ES. (1.5.1)  
S S S S          
Так как для точечного заряда напряженность E 1 q , то  
       
4 0 r2  
                   
ФE N   1 q 4 r2 q .       (1.5.2)  
                 
  4 0 r2          
               


Из формулы (1.5.2) следует, что число линий, пересекающих сфе-рическую поверхность S, на любом расстоянии от заряда будет одним и тем же. Полученный результат также справедлив и для замкнутой поверхности S * произвольной формы, охватывающей заряд q, по-скольку каждая линия напряженности, пронизывающая сферу S, пройдет и сквозь поверхность S *.

Если замкнутая поверхность S ** не охватывает заряд (рис. 1.5.2), создающий поле, то общее количество линий напряженности, входя-щих внутрь поверхности S **, будет равно количеству линий, выходя-щих из нее. Поэтому поток вектора напряженности в этом случае бу-дет равен нулю. Для поля точечного заряда справедлива теорема,

предложенная Карлом Фридрихом Гауссом:поток вектора напряжен-

ности поля точечного заряда q сквозь любую замкнутую поверхность S равен заряду q/ 0, если эта поверхность охватывает заряд, и равен ну-лю, если поверхность не охватывает заряд.

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме в интегральной форме - student2.ru

S *

E

S **

q

Рис. 1.5.2

С учетом принципа суперпозиции теорему Гаусса можно распро-странить на произвольную систему q1, q2, …, qn точечных зарядов. Допустим, что внутри замкнутой поверхности S находится k точечных

зарядов: q1, q2, …, qk. В силу принципа суперпозиции напряженность  
                    n      
поля, создаваемого всеми зарядами, равна: EEi . Поэтому поток  
                    i 1      
вектора напряженности через замкнутую поверхность S  
Ф           n     n     (1.5.3)  
E   EdS     E dS   E dS.  
      i i      
      S   S i 1     i 1 S        


Интеграл, стоящий под знаком суммы, равен q/ 0 (если заряд на-ходится внутри замкнутой поверхности) или нулю (если находится вне замкнутой поверхности). Следовательно,

      k   k    
ФE EdS     qi ,или En dS   qi . (1.5.4)  
     
S     0 i 1 S 0 i 1    

Получили теорему Гаусса в интегральной форме: поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверх-ность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверх-

ности зарядов, деленной на 0.

Если электростатическое поле создается распределенным заря-дом, то теорема Гаусса будет иметь вид:

EndS q , (1.5.5)  
   
S        

где q – заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S. Величи-ну заряда q можно найти, используя формулы (1.1.3)–(1.1.5).

В ряде случаев, используя теорему Гаусса, характеристики электростатического поля можно рассчитать проще, чем, напри-мер, используя принцип суперпозиции. Теорему Гаусса удобно применять для расчета характеристик симметричных электроста-тических полей (т. е. полей, создаваемых симметричными заря-женными телами).

Наши рекомендации