Геометрическое определение

A • B = |A| |B| cos(θ)

Если определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении классической геометрии), то скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними:

Векторным произведением ненулевых векторов и называется вектор , обозначаемый символом или , длина которого

Свойства векторного произведения:

1° , тогда и только тогда, когда

2°

3° Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах и (рис. 2), т.е.

4°

5°

Если векторы заданы своими координатами , , то векторное произведение находится по формуле:

Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :

Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Свойства смешанного произведения:

1°

2°

3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

9°

10° Тождество Якоби:

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Способы задания плоскости

тремя точками, не лежащими на одной прямой линий,
прямой и точкой, взятой вне прямой,

двумя пересекающимися прямыми,

двумя параллельными прямыми.

Общее уравнение плоскости

A x+ B y+ C z+ D= 0

Уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :

Уравнение плоскости, Проходящей через 3 заданные точки

Способы задания прямой:

Общее уравнение прямой

Каноническое

Параметрическое

Общее

Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Каноническая форма:

Полярные координаты

Окружность радиуса R с центром в точке :

Параметрические уравнения:

Эллипс — линия второго порядка; она симметрична относительно осей AB и CD; точка О — центр Э. — является его центром симметрии; отрезки AB = 2a и CD = 2b называются соответственно большой и малой осями

Каноническая форма:

Эксцентриситет:

Фокальный параметр:

Полярное уравнение:

Параметрическая форма:

Где t— параметр уравнения.

Гипе́рбола— геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек f1 и f2 постоянно

Каноническая форма:

Эксцентриситет:

Фокальный параметр:

Полярное уравнение:

Параметрические уравнения гиперболы:

В первом уравнении знак «+» соответствует правой ветви гиперболы, а «-» — её левой ветви.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F и заданной прямой d, не проходящей через заданную точку

Каноническое уравнение:

Эксцентриситет:

- параметр

Параметрические уравнения параболы:

Полярное уравнение:

Сфе́ра— замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы

Уравнение

Эллипсо́ид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых координатах, совпадающих с осями деформации эллипсоида:

где — произвольные положительные числа

Гиперболоид (от др.-греч. ὑπερβολή — гипербола, и εἶδος — вид, внешность). В математике гиперболоид — это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением

(однополостный гиперболоид),

где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось;

или

(двуполостный гиперболоид),

где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.

Эллипти́ческий параболо́ид — поверхность, задаваемая функцией вида

Гиперболи́ческий параболо́ид (называемый в строительстве «гипар») — седлообразная поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:

Конус:

Линейное пространство — это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр

аксиомы:

II.

III. (нулевой элемент, такой, что ).

IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что

VI.

VII.

VIII.
Подпространство линейного пространства

Множество называется подпространством линейного пространства V, если: