Системы линейных уравнений. Крамеровские системы.

Рассмотрим совокупность условий

a₁₁ x₁ + . . . + a_1n x_n = b₁,

a₂₁x₁ + . . . + a_2nx_n = b₂,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( )

a_m1x₁ + . . . + a_mn x_n = b_m,

где a_ij , b_i - числа, а x_j - буквы. Совокупность этих условий называется системой линейных уравнений относительно неизвестных x₁, . . ., x_n. Последовательность чисел r₁ , . . . , r_n называется решением системы ( ), если при подстановке этих чисел вместо соответствующих неизвестных получаем истинные равенства. Систему уравнений называют совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае ее называют противоречивой. Совместную систему уравнений называют определенной, если она имеет единственное решение. Если система уравнений имеет более одного решения, то систему называют неопределенной. Вводя матрицы

A = , x = , b =

систему ( ) можно записать в матричной форме

Ax = b. ( )

Матрица А называется матрицей системы, а матрица

B =

называется расширенной матрицей системы. Вводя в рассмотрение вектора

a ₁ = , . . . , a_n =

систему ( ) можно записать в векторной форме

x₁a ₁ + . . . + x_na _n = b.

Система линейных уравнений называется крамеровской, если число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы системы отличен то нуля.

Рассмотрим методы решения таких систем.

В §3 мы отмечали, что в этом случае квадратная матрица А имеет обратную. Следовательно, можно умножить обе части равенства ( ) слева на А^{- 1}. В результате этой операции получим

x = A^{- 1}b. ( )

Обратно, умножая соотношение ( ) слева на А получим ( ). Таким образом, условия ( ), ( ) равносильны, и поэтому формулу ( ) можно рассматривать как формулу, решающую крамеровскую систему линейных уравнений. Для матрицы А существует только одна обратная матрица, следовательно, каждая крамеровская система имеет одно и только одно решение.

Формула ( ) показывает, что неизвестное x_i можно получить умножением i-ой строки матрицы А^{- 1} на столбец b. Отсюда, воспользовавшись формулой ( ) из §3, получим

x_i = ( ïAç_i1b₁ + . . . + ïAê_nib_n)

или, в окончательной форме,

x_i = (i = 1, . . . , n) ( )

Формулы ( ) называются формулами Крамера в честь математика середины прошлого столетия, в работе которого они впервые появились.

Пример.

x₁ - x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ + 3x₃ = 4

4x₁ + 2x₂ + x₃ = 3

Для нахождения решения по формулам Крамера нужно вычислить определители

D = , D ₁ = , D ₂ = , D ₃ =

Чтобы вычислить определитель D , вычитаем из 2-й и 3-й строки матрицы определителя первую строку, умноженную соответственно на 2 и 4. В результате получим

D = = 1´ = - 21 + 6 = 15.

Аналогично получаем, что D ₁ = 30, D ₂ = -45, D ₃ = 15. Используя формулы Крамера, находим

x₁ = = 2, x₂ = = -3, x₃ = = 1.

Формулы Крамера дают решение системы линейных уравнений через коэффициенты этих уравнений, но для фактического нахождения решений по формулам ( ) требуется выполнить большое число вычислительных операций. Более экономичными с вычислительной точки зрения являются методы последовательного исключения неизвестных. Один из них, надлежащим образом упорядоченный, называется методом Гаусса.

Итак, рассмотрим крамеровскую систему линейных уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂ x₂ + . . . + a_1n x_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂ x₂ + . . . + a_2n x_n = b₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( )

a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + . . . + a_nn x_n = b_n

Без ограничения общности можно считать, что коэффициент а₁₁ при x₁ отличен от нуля, в противном случае мы можем поменять местами уравнения. Разделим все члены первого уравнения на а₁₁ в результате получим систему вида

x₁ + a₁₂ x₂ + . . . + a_1n x_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂ x₂ + . . . + a_2n x_n = b₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( )

a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + . . . + a_nn x_n = b_n

Затем из каждого 2-го, 3-го, . . . , n-го уравнения вычитаем почленно 1-е уравнение, умноженное соответственно на a₂₁, a₃₁, . . . , a_n1. После этого наша система будет равносильна системе вида

x₁ + a₁₂ x₂ + . . . + a_1n x_n = b₁

a₂₂ x₂ + . . . + a_2n x_n = b₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( )

a_n2 x₂ + . . . + a_nn x_n = b_n.

В полученной системе поступаем таким же образом со всеми уравнениями, начиная со второго. Затем переходим к рассмотрению уравнений, начиная с третьего. Продолжая указанный процесс, мы получим в результате треугольную систему вида

x₁ + w ₁₂ x₂ + . . . + w _1n x_n = d₁

x₂ + . . . + w _2n x_n = d₂

. . . . . . . . . . . . . . . . ( )

x _n-1 + w _nn x_n = d _n-1

x_n = d _n

К полученной системе применим процедуру последовательного нахождения неизвестных. Последнее уравнение системы дает значение x _n. Подставив полученное значение в предпоследнее уравнение найдем значение неизвестной x _n-1 и т. д. В результате найдем значения всех неизвестных x₁, . . . , x _n.

Пример.

x₁ + 3x₂ + x₃ = 14

2x₁ + 8x₂ - x₃ = 22

x₁ + 6x₂ + 2x₃ = 27

Из 2-го и 3-го уравнения вычитаем почленно 1-е уравнение, умноженное соответственно на 2 и 1. После этих операций получим систему

x₁ + 3x₂ + x₃ = 14

2x₂ - 3x₃ = - 6

3x₂ + x₃ = 13.

Мы исключили x₁ из 2-го и 3-го уравнения. Для исключения неизвестной x₃ из 3-го уравнения разделим все члены 2-го уравнения на 2

x₁ + 3x₂ + x₃ = 14

x₂ - 1.5x₃ = -3

3x₂ + x₃ = 13.

Затем из 3-го уравнения вычитаем 2-е, умноженное на 3. В результате получим

x₁ + 3x₂ + x₃ = 14

x₂ - 1.5x₃ = -3

5.5x₃ = 22.

Разделив 3-е уравнение на 5.5 , находим x₃ = 4. Подставляя x₃ во 2-е уравнение, получим x₂ - 1.5´ 4 = -3 или x₂ = 3. Подставляя найденные значения в 1-е уравнение, получим x₁ + 3´3 + 4 = 14 или x₁ = 1.

Другую реализацию метода исключения неизвестных можно назвать методом диагонализации. Данный метод отличается от метода Гаусса тем, что в нем каждое из неизвестных x_k исключается из всех уравнений кроме одного. Таким образом он доводит решение системы до конца и не требует применения процедуры последовательного нахождения неизвестных. Часто решение оформляется в матричном или табличном виде.

Пример.

x₁ + x₂ - 2x₃ = 4

3x₁ + x₂ + x₃ = 9

2x₁ + x₂ - x₃ = 6

Рассмотрим расширенную матрицу системы

.

Приведем матрицу системы к единичному виду. Тогда в последнем столбце получим решение системы. Вычитаем из 2-й и 3-й строки первую, умноженную соответственно на 3 и 2. После выполнения операций получим матрицу

.

Разделим 3-ю строку на -1 и переставим со 2-й строкой. Получим матрицу

.

Вычитаем из 1-й и 3-й строки вторую, умноженную соответственно на 1 и -2. Получим матрицу

.

В заключении, вычитаем из 1-й и 2-й строки третью, умноженную соответственно на 1 и -3. В результате получим

.

Следовательно x₁ = 1, x₂ = 5, x₃ = 1.