Аралас система тәсілі

Иррационал теңдеулерді шешуде қолданылатын түрлі түрлендірулер нәтижесінде жаңа теңдеулер пайда болады да, оларды шешу нәтижесінде кейде бөгде түбір пайда болады. Табылған түбірлерді міндетті түрде берілген теңдеуге қойып тексеруіміз керек. Түбір күрделі сан болғанда, тексеру кейде мүмкін болмай қалады. Мысалы, / 8-х)²

Теңдеуінің жалғыз ғана мынандай түбірі бар:

x=9 (1+ / 256.

Бұл берілген теңдеудің түбірі ме, жоқ па оны тексеру оңай емес. Егер берілген теңдеуді аралас система тәсілі бойынша шешсек, онда бұл тәсілмен табылған түбірді тексермей-ақ қоюға болады. Аралас системасы мағынасы берілген теңдеуді оған эквивалентті теңдеу және теңсіздіктен тұратын системаға келтіру. Мұндай да әрбір түрлендіру нәтижесінде берілген теңдеудің түбірі әрі жоғалмайды, әрі бөгде түбірді тексеру оңай. Сондықтан бұл тәсіл иррационал теңдеулерді, теңдеулер системасын және теңсіздікті шешудің ең бір тиімді тәсілі болып табылады. Осыған бірнеше мысал келтірелік.

66.

теңдеуі берілсін. Бұл теңдеуді үш тәсілмен шешелік.

1 тәсіл. Теңдеудің екі жақ бөлігін де квадраттайық.

Сонда

немесе2 .

Бұдан

Әрбір соңғы теңдеу алдыңғысының салдары болғандықтан, теңдеудің түбірі жоғалуы мүмкін емес. Әйтседе түбірді тексеруіміз қажет. Табылған түбірлерді берілген теңдеуге қоя отырып, оны тек x=4 қанағаттандыратындығына көз жеткізуге болады.

2-аралас система тәсілі. Егер х берілген теңдеудің нақты түбірі болса, онда x+5≥0, 2x+8≥0,

яғни х≥ -5, х≥ - 4 болады. Сонымен нақты сандар жиынында берілген теңдеу мына араллас системаға келеді:

Расында да, соңғы система берілген теңдеуден шығады. Егер системаның екінші шарты орындалса, х+5≥0, 2х+8≥0 орындалады.

Берілуі бойынша ендеше

Сонымен 2 системаны ықшамдасақ, оған эквивалентті

системасын аламыз. Бұған

системасы эквивалентті. Соңғы система оның алдындағы системаны түрлендіруден шықты.

4(x+5)(2x+8)=9(12-x)² немесе x²-288x+1136=0 теңдеуін шеше отырып, x₁=284, x₂=4 екенін табамыз. Соңғы систеианың екінші шарты бойынша x=4берілгентеңдеудіңшешімі.

Түйіндестертәсілі.

x

x+5-2x-8=7t⇒t=-(x+3) / 7

сонда

2

Ықшамдағаннан кейін х²-288х+1136=0 теңдеуіне келеді. Оны шешуді білеміз. Тексеруден кейін х=4 шешім екендігене көзіміз жетеді.

67.

Шешуі: 1 тәсіл.

a) 3x-5>0, x>0⇒x>5/3;

б) 3-

Бұлекіжағдайданмынандайқорытындығакелеміз: 5/3<x<9/2.

Сонымен ⇒

Соңғы системаны ықшамдағаннан соң мына аралас системасына келеміз:

. ⇒

Системаның соңғы теңдеуінен х₁=2 және х₂₌98 екенін табамыз. Алайда системаның шартын тек х=2 ғана қанағаттандырады.

Жауабы: х=2

2 тәсіл. Түйіндестер тәсілімен шешейік.

x

t=(x-5) /3

Олай болса, t мәнін системадаға екінші теңдеуіне қойсақ мына системаны төмендегіше шешуге тіреледі:

-

2

6 x₁=2 ; x₂=98.

Түбірлерді бастапқы теңдеуге қойып тексеру арқылы х₂₌98 бөгде түбір екендігіне көзіміз жетеді.

68.