Сходимость знакопеременных рядов
Определение.Ряд вида сn (5)
с членами произвольных знаков называется знакопеременным.
Определение.Ряд (5) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
ïсnï. (6)
Определение.Ряд (5) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд (6) расходится.
Определение.Ряд вида (–1)n–1аn или (–1)nаn ( аn > 0) (7) называется знакочередующимся.
Признак Лейбница(достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов). Если члены ряда (7) начиная с некоторого монотонно убывают по абсолютной величине и аn = 0, то ряд (7) сходится.
Действия над рядами
Теорема1.Если сходятся слагаемые ряды, то сходится и суммарный ряд:
Теорема 2. Если сходятся перемножаемые ряды, причем хотя бы один абсолютно, то сходится и ряд
Определение.Частным от деления ряда на ряд называется такой ряд , что
Приближенное вычисление суммы ряда
Для приближенного вычисления суммы S сходящегося ряда полагают, что S»Sn= , пренебрегая остатком Rn = .
Для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих признаку Лейбница, справедлива следующая оценка: ôRnô ôcn+1ô.
Для сходящихся знакоположительных рядов, члены которого монотонно убывают начиная с (n + 1)–го, справедливы следующие оценки остатка:
; .
Степенные ряды
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд
, (8)
члены которого есть произведения постоянных на степенные функции с целыми показателями степеней от разности (х - а).
Постоянные а0, а1, а2, а3, …, аn, … называются коэффициентами степенного ряда. В частном случае при а = 0 имеют степенной ряд вида
.
Основное свойство степенных рядов сформулировано в теореме Абеля. Если степенной ряд (8) сходится при х = х0, то он сходится и притом абсолютно при всяком значении х, удовлетворяющем условию
.
Одним из следствий теоремы Абеля является существование для всякого степенного ряда интервала сходимости, симметричного относительно х = а [для ряда (8)]. Обозначим через число R половину длины интервала сходимости – радиус сходимости. Тогда интервал сходимости для ряда (8) запишется в виде
или ,
а при а = 0
или .
В частных случаях радиус сходимости ряда R может оказаться равным нулю или бесконечности. Если R = 0, это означает, что область сходимости состоит из одной точки х = а, другими словами, ряд расходится для всех значений х, кроме одного. Если же R = ¥, то ряд сходится на всей числовой оси, т. е. ряд сходится при всех значениях х.
На концах интервала сходимости в точках х = а ± R различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах, другие – либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном сходятся условно, а на другом расходятся; существуют ряды, которые расходятся на обоих концах.
Для определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно использовать следующие способы.
1. Если среди коэффициентов ряда а0, а1, а2, а3, …, аn, … нет равных нулю, т. е. ряд содержит все целые положительные степени разности х – а, то радиус сходимости находится по формуле
или
при условии, что этот предел, конечный или бесконечный, существует (это условие должно выполняться и для нижеприведенных способов).
2. Если степенной ряд имеет вид
,
где р– некоторое определенное целое положительное число, то радиус сходимости данного ряда
.
3. Во всех случаях интервал сходимости степенного ряда можно находить, непосредственно применяя известные признаки Даламбера или Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.
Запишем степенной ряд в виде
,
используя следующие обозначения: , , где зависимость Nот n может быть любой (в частности, N = p×n) и через an обозначен не коэффициент при , а коэффициент n-го члена ряда. Применяя к ряду, составленному из абсолютных значений членов ряда признак Даламбера или признак Коши, интервал сходимости исходного степенного ряда находим из соответствующих неравенств:
или .
Теорема 1. Если ряд (8) сходится на отрезке [a; b], то его можно почленно проинтегрировать на этом отрезке:
dx.
Теорема 2. Ряд (8) можно почленно продифференцировать в каждой точке x его интервала сходимости.
Ряд Тейлора
Ряд Тейлора для функции f(x) в окрестности точки x = a (ряд по степеням x-a) имеет вид
f(x) = f(a) + + + + … +
+ … + +… = .
Таблица разложений функций в ряд Тейлора
| ex = = 1 + x + … |
| sin x = = x – + – + … |
| cos x = = 1 – + – + … |
| 1 + x + x2 + x3 + x4 + … |
| (1 + x)m = 1 + xn = 1 + mx + +… |
| ln(1+x)= = x – … , –1 < x ≤ 1 |
| arctg x = = x – + – + … , |
Ряды Фурье
Определение.Пусть f(x) – кусочно непрерывная периодическая функция с периодом Т=2l. Рядом Фурье функции f(x) называется ряд
, (9)
где (10)
Теорема Дирихле. Если функция f(x) непрерывна или имеет точки разрыва только 1-го рода на [–l; l] и при этом на [–l; l] у нее конечное число экстремумов и точек разрыва ( условия Дирихле), то ряд Фурье этой функции сходится для любых х из [–l; l]. Сумма этого ряда S(x) равна:
1) f(x) в точках непрерывности из (–l; l);
2) среднему арифметическому пределов функции f(x) слева и справа в каждой
точке x0 разрыва функции, т. е. S(x0) = 0,5[f(x0–0)+ f(x0+0)];
3) S(x) = 0,5[f( l – 0)+ f(– l +0)] при х = – l их = l.
Если функция f(x) четная, т. е. f(–x) = f(x), то все bn = 0, ряд Фурье имеет вид
, (11)
где (12)
Если функция f(x) нечетная, т. е. f(–x) = – f(x), то ее рядом Фурье является ряд
, (13)
где (14)
Примеры решения задач
Задача № 1.Найти суммы числовых рядов
а) ; б) .
а) Разложим общий член ряда на простейшие дроби:
.
Запишем сумму n первых слагаемых ряда Sn= а1 + а2 + а3 + …+ аn =
= + + + …+ +
+ =
Отсюда S = Sn = =
б) – убывающая геометрическая прогрессия с
q = и а1 = 5, тогда S =
Задача № 2. Используя признак сравнения, исследовать на сходимость ряд
.
Сравним исследуемый ряд с рядом (он сходится, т. к. степень a = 3>1).
Очевидно, справедливо неравенство . Значит, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд тоже сходится.
Задача № 3.Используя предельную форму признака сравнения, исследовать ряд на сходимость.
Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Предел отношения их общих членов , что означает сходимость исследуемого ряда.
Задача № 4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд
.
Вычисляем предел
.
Результат меньше единицы, это говорит о сходимости ряда.
Задача № 5. Используя радикальный признак Коши, исследовать на сходимость ряд .
Так как предел , ряд расходится.
Задача № 6.Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость ряд .
Если заменить аргумент n на непрерывно изменяющийся аргумент x, то ряд и интеграл сходятся и расходятся одновременно, т. к. подынтегральная функция непрерывна, положительна и монотонно убывает при x ³ 1:
=
В результате вычисления несобственного интеграла получено, что его значение конечно, это говорит о сходимости интеграла, а следовательно, и ряда.
Задача № 7. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд
.
Легко проверить, что оба условия теоремы Лейбница выполняются для рассматриваемого ряда: члены ряда начиная с первого монотонно убывают по абсолютной величине, т. е. и аn = = 0, что говорит о сходимости исследуемого ряда.
Если записать знакоположительный ряд соответствующим данному, то, согласно признаку сравнения, этот ряд будет расходящимся, т. к. ( как известно, ряд – расходящийся).
Отсюда можно сделать вывод об условной сходимости знакочередующегося ряда
.
Задача № 8.Дан степенной ряд .Найти область его сходимости и интервал сходимости.
Пусть R – радиус сходимости ряда. Он может быть вычислен по формуле
Интервал сходимости находится с помощью неравенства ; подставляя а = 1 и R = 1, находим . Получается, что .
Остается выяснить, сходится или расходится ряд в граничных точках интервала сходимости. Для этого в рассматриваемый ряд подставляются x = 0, а затем
x = 2 и соответствующие числовые ряды исследуются на сходимость.
При x = 0 получится знакочередующийся ряд . Оба условия теоремы Лейбница выполняются для него: члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т. е. и аn = = 0, что говорит о сходимости исследуемого ряда.
При x = 2 получится знакоположительный ряд . Он расходящийся, согласно признаку сравнения, т. к. . Следовательно, уточненный интервал сходимости имеет вид .
Задача № 9. Используя дифференцирование и интегрирование степенных рядов, найти сумму и указать область сходимости ряда .
Пусть z = x2 – 3, тогда получается ряд . Легко видеть ( применяя методы предыдущей задачи № 8), что он сходится для всех z: . Обозначив сумму нового ряда S(z), проинтегрируем равенство S(z) = на отрезке [0, z], используя таблицу разложений в ряд Тейлора, а затем продифференцируем получившееся равенство:
= ; S(z) =
Подставив z = x2–3 в последнее равенство, получаем
= .
Это разложение имеет силу, если , т. е. 2 < x2 < 4, а, значит, область сходимости исследуемого ряда является объединением двух интервалов:
–2 < x < и < x < 2.
Задача № 10. Используя табличные разложения, составить ряд Тейлора для функции по степеням x – 4.
Используя формулу , преобразуем функцию следующим образом: = =
= = .
Применяя таблицу разложений функций в ряд Тейлора, получаем
= =
= .
Задача № 11.Вычислить интеграл с точностью 0,0001.
Используя таблицу разложений в ряд Тейлора, получаем
e –x = = 1 – x + …
этот ряд является знакочередующимся и сходится для любого x. Отсюда после вычитания из обеих частей равенства по 1 – x следует, что
e –x – 1 + x = …
Разделим это равенство на x2: = …
Данный ряд также является знакочередующимся и сходится для любого x.
Отсюда следует, что его можно почленно проинтегрировать на отрезке [0; 0,1]:
=
После почленного интегрирования вновь получился знакочередующийся сходящийся ряд. Для приближенного вычисления суммы S сходящегося ряда полагают, что S » Sn= , пренебрегая остатком Rn= .
Для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих признаку Лейбница, справедлива следующая оценка: .
Третье слагаемое суммы меньше 0,0001, поэтому для нахождения приближенного значения интеграла с заданной точностью достаточно вычислить сумму первых двух слагаемых.
Задача № 12.Найти первые 4 – 5 отличных от нуля членов в разложении функции у(х) в ряд Тейлора по степеням (х – а), если .
Ряд Тейлора для функции f(x) в окрестности точки x = a ( по степеням х – а) имеет вид f(x) = f(a) + + + + … +
+ + … = .
Отсюда а = 1, у(1) = p, ,
,
.
Таким образом, искомый ряд Тейлора для у(x) в окрестности точки x = 1 имеет вид у(x) = p + + + + …
Задача № 13.Разложить функцию
с периодом 2p в тригонометрический
ряд Фурье (рис. 1).
Данная функция у удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле и поэтому может быть разложена в ряд Фурье. Используя выражение (10), где l = p, получаем коэффициенты Фурье:
После подстановки этих коэффициентов в (9) получим искомый ряд:
Так как функция у удовлетворяет условиям Дирихле, сумма полученного ряда равна значению функции в любой точке ее непрерывности. В точках разрыва сумма равна p/2. На рисунке 2 показан график суммы ряда.
Задача № 14. Разложить функцию заданную на интервале
]0; 2[, в тригонометрический ряд Фурье по косинусам (рис. 3).
Доопределяя функцию y на интервале ]–2; 0[ четным образом (рис. 4), эту вспомогательную функцию продолжим периодически на всю числовую прямую с периодом Т = 4 (рис. 5), получим l = 2. Тогда, используя формулы (11), (12), находим
После подстановки этих коэффициентов в (10) получим искомый ряд:
.
На интервале ]0; 2[ сумма полученного ряда равна значению функции. На рисунке 6 показан график суммы ряда.
Задача № 15. Разложить функцию заданную на интервале ]0; 2[, в тригонометрический ряд Фурье по синусам (рис. 3).
Доопределим функцию у на интервале ]–2; 0[ нечетным образом (рис. 7), а затем продолжим периодически на всю числовую прямую с периодом Т = 4.
Найдем коэффициенты Фурье по формуле (14) при l = 2:
После подстановки этих коэффициентов в (13) получим искомый ряд:
.
На интервале ]0; 2[ сумма этого ряда равна значению функции. На рисунке 8 показан график суммы ряда.
Библиографический список
1. Шмелев П. А. Теория рядов в задачах и упражнениях. – М.: Высш. школа, 1982. – 178 с.
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. – М.: Наука, 1978. – 563 с.
3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980. – 467 с.
4. Колобов А. М. Избранные главы высшей математики. Ч. 1. Ряд Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. – Минск: Высш. школа, 1985. – 220 с.
5. Ефимов А. В. Математический анализ (специальные разделы). Ч. 1. Общие функциональные ряды и их приложения. – М. : Высш. школа, 1980. – 279 с.
6. Ряды и их приложения: Метод. указания / сост.: Г. А. Кузик, Э. Г. Кучеренко. – Омск: Изд. ОмПИ, 1992. – 36 с.
Содержание
1. Типовой расчет. ……………………………………..………………...3
2. Справочный материал. ……………………………………………...12
3. Примеры решения задач РГР и КР………………………………….21
Библиографический список ………………………………………...30
Редактор Г. М. Кляут
Сводный темплан 2005 г.
ИД 06039 от 12.10.01
Подписано в печать 18.02.05 . Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная.
Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. 2,0. Уч.–изд. л. 2,0.
Тираж 500 экз. Заказ
Издательство ОмГТУ. 644050, Омск, пр-т Мира, 11
Типография ОмГТУ