Теоретичні відомості про кути між прямими, взаємне розташування прямих в просторі

1. Кут між прямими, які лежать в одній площині і задані рівняннями:

знаходять за формулою:

(1)

Очевидно, що косинус кута між прямими, які лежать в одній площині, дорівнює абсолютній величині косинуса кута між їх напрямними векторами. Якщо прямі задані з кутовими коефіцієнтами , то кут між цими прямими будемо знаходити за формулою:

Умова паралельності прямих.

Прямі, задані рівняннями: , паралельні тоді і тільки тоді, коли їх напрямні вектори колінеарні, тобто коли є пропорційними відповідні координати напрямних векторів:

Прямі з кутовими коефіцієнтами паралельні тоді і тільки тоді, коли ці коефіцієнти рівні між собою.

Прямі, задані рівняннями паралельні тоді і тільки тоді, коли .

3. Умова перпендикулярності прямих. Прямі, задані рівняннями:

, перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли вони лежать в одній площині і їх нормальні вектори перпендикулярні, тобто коли виконується рівність (скалярний добуток векторів дорівнює нулю).

Якщо прямі задані з кутовими коефіцієнтами , то вони перпендикулярні, якщо виконується рівність: .

Якщо прямі задані рівняннями: , то прямі перпендикулярні, якщо виконується рівність: .

Задача №1. Знайти кут між прямими і :

Задача №2. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку C і паралельна до прямої l:

Задача №3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M і перпендикулярна до прямої l:

Задача №4. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих a і b і паралельна до c:

Питання для самоперевірки знань, вмінь

1. Як визначити кут між прямими, що задані канонічними рівняннями ?

2. Сформулювати умову паралельності двох прямих, що задані канонічними рівняннями.

3. Сформулювати умову перпендикулярності двох прямих, що задані канонічними рівняннями.

4. Як залежить перпендикулярність та паралельність прямих від їх напрямних та головних векторів ?

Висновок__________________________________________________

Перевірив викладач ___________ Оцінка ___________ Дата ______________

Виконаємо самостійно

В-1 В-2

1. Знайти кут між прямими і :

2. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку C і паралельна до прямої l:

3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M і перпендикулярна до прямої l:

4. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих a і b і паралельна до c:

В-3 В-4

1. Знайти кут між прямими і :

2. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку C і паралельна до прямої l:

3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M і перпендикулярна до прямої l:

4. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих a і b і паралельна до c:

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 5