Свойства чисел ряда Фибоначчи


Обнаружено много интересных соотношений между числами ряда Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

1) Принцип образования членов этого ряда приводит к следующему соотношению между любыми его тремя рядом стоящими членами Sn-2, Sn-1 и Sn:

Sn = Sn-1 + Sn-2.

Эта формула дает возможность по первым двум членам ряда установить его третий член, по второму и третьему - четвертый, по третьему и четвертому - пятый и т. д.

2) Интересно было бы уметь сразу получить любой член ряда Sn, зная лишь номер nего места. Оказывается, это вполне возможно, но здесь мы столкнемся с одной из удивительных неожиданностей, которые нередки в математике.
Любой член ряда Фибоначчи - число целое, номер места - тоже число целое. Естественно было бы ожидать, что любой член ряда Sn получается в зависимости от номера и занимаемого им места при помощи действий только над целыми числами (например, как в прогрессиях). Но это не так. Не только целые числа, но даже все целые и дробные (рациональные) бессильны образовать интересующую нас формулу.
Из затруднительного положения помогают выйти два иррациональных числа:

Свойства чисел ряда Фибоначчи - student2.ru и Свойства чисел ряда Фибоначчи - student2.ru

Так вот, если n - номер места, то любой член Sn ряда Фибоначчи вы можете получить по формуле:

Свойства чисел ряда Фибоначчи - student2.ru


3) Зная, как любой член Sn ряда Фибоначчи определяется по номеру n занимаемого им места:

Свойства чисел ряда Фибоначчи - student2.ru , где Свойства чисел ряда Фибоначчи - student2.ru и Свойства чисел ряда Фибоначчи - student2.ru

легко доказать, что любая пара соседних чисел ряда Фибоначчи Sn и Sn+1удовлетворяет одному из уравнений x2-xy-y2=±1, причем, если y=Sn, то x=Sn+1.

4) Очень забавный вид у формулы для суммы n членов ряда Фибоначчи:

S1 + S2 + ... + Sn = Sn+2 - 1

Сумма n первых членов ряда Фибоначчи на 1 меньше (n+2)-го члена того же ряда.
5) Сумма квадратов чисел ряда Фибоначчи выражается через произведение двух соседних членов того же ряда:

S12 + S22 + ... + Sn2 = Sn· Sn+1

Доказательство этого свойства - тема для курсовой работы.
6) Квадрат каждого члена ряда Фибоначчи, уменьшенный на произведение предшествующего и последующего членов, дает попеременно то +1, то -1.

Sn2 - Sn-1· Sn+1 = (-1)n+1.


7) S1 + S3 + ... + S2n-1 = S2n.

8) S2 + S4 + ... + S2n = S2n+1 - 1.

9) В ряду Фибоначчи каждое третье число - четное, каждое четвертое делится на 3, каждое пятое - на 5, каждое пятнадцатое - на 10.

10) Невозможно построить треугольник, сторонами которого являются числа ряда Фибоначчи.

11) Если взять любые 4 последовательных числа ряда Фибоначчи и рассматривать произведение крайних членов и удвоенное произведение средних - как длины катетов прямоугольного треугольника, то длиной его гипотенузы будет один из членов этого ряда:

(an· an+3)2 + (2an+1· an+2)2 = a22n+3.


Устали? тогда все.

Наши рекомендации