Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Две прямые на плоскости могут
· совпадать;
· быть параллельными;
· пересекаться.
Пусть даны две прямые и
, задаваемые уравнениями
и
соответственно. Определим условия, необходимые и достаточные для определения взаимного расположения данных прямых.
Теорема. Для того чтобы прямые и
совпадали необходимо и достаточно, чтобы
![]() | (7) |
Доказательство. Необходимость. Векторы и
являются направляющими для прямых
и
, значит, они коллинеарны. Существует такое число
, что
Умножим уравнение второй прямой на и вычтем его из уравнения первой прямой.
Это равносильно условию (7). Достаточность. Из условия (7) следует, что
для некоторого , то есть уравнения, задающие прямые
и
, эквивалентны.
Теорема. Прямые и
параллельны и не совпадают тогда и только тогда, когда
(8)
Доказательство. Необходимость следует из пропорциональности направляющих векторов и справедливости предыдущей теоремы.
Достаточность. Первая часть условия (8) дает параллельность направляющих векторов, вторая — несовпадение прямых.
Теорема. Прямые и
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
(9)
Доказательство. Данное утверждение следует из предыдущих двух теорем. Полуплоскости, связанные с данным уравнением
Пусть даны плоскость и лежащая на ней прямая. Две точки и
лежат по одну сторону от прямой, если отрезок
не пересекается с данной прямой. Полуплоскостью называют множество всех точек, которые лежат по одну сторону от прямой.
Теорема. Если прямая на плоскости задана уравнением (5), то множества
и
всех точек
, для которых
и
, являются полуплоскостями, ограниченными прямой
.
Доказательство. Пусть точки и
лежат в множестве
. Рассмотрим произвольную внутреннюю точку
отрезка
. Поскольку эта точка делит отрезок в некотором соотношении
, ее координаты
Учитывая очевидное тождество , получаем
так как обе точки и
принадлежат
. По определению полуплоскости
лежит в одной из полуплоскостей, ограниченных прямой
. Аналогичные рассуждения верны и для
. Поскольку плоскость исчерпывается множествами
,
и
, то множества
и
лежат в разных полуплоскостях и исчерпывают их.
Множество называют отрицательной полуплоскостью по отношению к уравнению (5) прямой
, а
— положительной полуплоскостью.
Если ту же прямую задать другим уравнением
![]() | (5') |
то существует такое , что
. Очевидно, что при
положительная и отрицательная полуплоскости для уравнения (5') совпадают с такими же для уравнения (5), а при
полуплоскости меняются местами.
Плоскости в пространстве
Утверждения о плоскости в пространстве аналогичны утверждениям о прямой на плоскости. Основное различие — в размере формул. Поэтому при выводе формул, принципиально не отличающихся от формул для прямой на плоскости, некоторые детали будут опущены.
Уравнения плоскости
Пусть известны координаты точки и два неколлинеарных вектора
и
, лежащих в плоскости. Рассмотрим произвольную точку
, принадлежащую плоскости. Вектор
, очевидно, лежит в плоскости, что по определению означает, что векторы
компланарны. В силу линейной независимости векторов
и
, это значит, что вектор
можно линейно выразить через
и
:
![]() | (10) |
Обозначим через и
радиусы-векторы точек
и
соответственно. Тогда
и уравнение принимает вид
Или (11)
Уравнение (11) называют векторным уравнением плоскости'.
Возьмем некоторую аффинную систему координат в пространстве. Пусть точки и векторы имеют координаты
Переходя от равенства векторов к равенству их координат, получаем (12
Это параметрические уравнения плоскости. Эквивалентная система уравнений выражает линейную зависимость столбцов матрицы
что эквивалентно равенству (13)
или (после раскрытия определителя по первой строке) уравнению
Обозначив , получим общее уравнение плоскости
(14)
Аналогично случаю плоскости можно доказать, что в пространстве плоскости и только плоскости описываются уравнением первой степени.
Если плоскость задана тремя точками с координатами , не лежащими на одной прямой, то принимают
. Тогда уравнение (13) принимает вид