Метод преобразования (свертывания) цепей
При наличии в цепи только одного источника э.д.с. внешнюю по отношению к источнику, часть электрической цепи можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов. Расчет таких цепей проводят путем преобразования цепи до эквивалентного сопротивления. Определяют ток в ветви с источником э.д.с., а затем, используя закон Ома, рассчитывают токи в остальных ветвях.
ПРИМЕР 1.2.1. (свертывание)
Дано: 
В; 
Ом; 
Ом; 
Ом; 
Ом;
Ом.
Определить: 
, 
, 
, 
, 
.
Решение: Резисторы 
и 
соединены параллельно, их эквивалентное сопротивление 
Ом
Резисторы 
и 
последовательны, находим их эквивалентное сопротивление 
Ом.
и 
параллельны, их общее сопротивление 
Ом.
Определяем ток : 
А.
По закону Ома рассчитаем напряжение 
: 
, тогда 
А.
Ток можно определить по I закону Кирхгофа: 
А.
Для определения токов и найдем по закону Ома 
: 
, тогда 
А; 
А.
Напряжение можно не находить, подставив в формулы для нахождения и значения .
А, 
А.
1.2.1. Дано: В; 
Ом; 
Ом; 
Ом.
Определить токи в сопротивлениях.
1.2.2. Дано: 
В; Ом; 
Ом; 
Ом; 
Ом.
Определить токи в сопротивлениях.
1.2.3. Дано: 
A; Ом; 
Ом; 
Ом.
Определить токи в сопротивлениях.
1.2.4. Дано: 
В; 
Ом; 
Ом; 
Ом; 
Ом
Определить токи в ветвях.
1.2.5. Дано: 
В; 
Ом; 
Ом; 
Ом; 
Ом; 
Ом; 
Ом;
Определить распределение токов в схеме.
1.2.6. Дано: 
А; 
Ом; Ом; Ом; Ом.
Определить токи в ветвях.
1.2.7. Дано: 
В; 
Ом; 
Ом; 
Ом; Ом.
Определить напряжение 
.
Закон Ома для активного участка цепи
Закон Ома для активного участка цепи между точками а и в имеет вид:
.
На основании второго закона Кирхгофа напряжение участка цепи и ЭДС берутся со знаком «+», если их направление совпадает с направление тока, и со знаком «-», если они направлены противоположно току.
ПРИМЕР 1.3.1
Дано: 
В; 
В; 
В; Ом; 
Ом.
Определить 
. 
(А).
ЗАДАЧИ
1.3.1. Дано: 
Ом; Ом; 
В; 
A.
Определить .
1.3.2. Дано: Ом; 
Ом; 
Ом; 
Вт.
Определить .
1.3.3. Дано: 
Ом; 
Ом; 
В; 
А.
Определить , 
.
1.3.4. Дано: 
Ом. Показания амперметров: 
А; 
A.
Определить .
1.3.5. Дано: 
Ом; 
Ом; 
В; 
В; 
В; 
В. 
Определить ток в цепи.
1.3.6. Дано: Ом; 
Ом; 
В; 
В; 
В; 
A.
Определить .
1.3.7. Дано: 
B; Ом; Ом; 
В; 
В; 
В; 
В
. 
Определить ток в цепи.
1.3.8.Дано: Ом; 
Ом; 
В; 
В; 
В; А
. 
Определить по закону Ома для участка цепи.
1.3.9. Дано: 
B; 
B; 
Ом; 
.
Определить ; 
; 
; 
.
1.3.10. Дано: Ом; 
Ом; вольтметр при замкнутом ключе показывает 60 В, при разомкнутом – 80 В.
Определить .
1.3.11. Дано: Потребляемая мощность 
кВт; 
B; Ом; 
Ом.
Определить токи , и мощности 
, 
.
1.3.12. Дано: Ом; 
Ом; 
В; 
В; 
В; 
А.
Определить .
1.3.13. Дано: 
Ом; 
Ом; 
В; 
В.
Определить напряжение между точками а и в.
1.3.14. Дано: 
Ом; 
A; 
B
. 
Определить .
Законы Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:
Ток, подходящий к узлу, берется со знаком «+», отходящий от узла, - со знаком «-».
Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:
.
В каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком «+», если их направления совпадают с направлением обхода контура, и со знаком «-», если их направления не совпадают с ним.
Для составления уравнений по законам Кирхгофа необходимо: выбрать произвольно направления токов в ветвях и выбрать положительные направления обхода контуров.
Количество уравнений определяется количеством неизвестных токов.
Число уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше числа узлов:
По второму закону Кирхгофа составляется недостающее число уравнений, равное числу независимых контуров или ветвей без источников тока ( 
) за вычетом числа уравнений, составленных по первому закону:
При составлении уравнений по второму закону независимые контуры выбираются так, чтобы в каждый из них входила новая ветвь, исключая ветви с источниками тока.
ПРИМЕР 1.4.1.
Дано: 
Cоставить уравнения по законам Кирхгофа для определения неизвестных токов.
Решение:
Произвольно выбираем направление токов в ветвях и направление обхода контуров. В схеме шесть ветвей. Необходимо составить систему из 
уравнений.
По первому закону составляем 
уравнения.
Для узла 1: 
.
Для узла 2: 
.
Для узла 3: 
.
Недостающие два уравнения составляем по второму закону Кирхгофа:
ПРИМЕР 1.4.2
Дано: 
Составить уравнения по законам Кирхгофа и определить токи в ветвях.
По первому закону составляем 
уравнения.
Для узла 1: 
.
Для узла 2: 
Для узла 3: 
.
Для узла 4: 
Недостающие пять уравнений составляем по второму закону Кирхгофа для явно выраженных контуров:
Запишем эти уравнения в виде удобном для записи их в матричной форме
Матричная форма записи системы уравнений: R×I=E.
Порядок решения заданной системы уравнений:
1. Установите режим автоматических вычислений.
2. Введите матрицу системы и матрицу - столбец правых частей.
3. Вычислите решение системы по формуле 
4. Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор - столбец решения.
5. Найдите решение системы с помощью функции lsolve и сравните результаты вычислений.
Ниже приведен фрагмент решения этой системы уравнений в программе Mathcad.
Зададим матрицу системы 
и матрицу - столбец 
правой части.
Надо найти матрицу - столбец неизвестных токов 
Вычислим решение системы по формуле 
:
.
Где: 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Решим систему с помощью функции lsolve и сравним результат с решением
Заданная система уравнений решена правильно.
1.4.1.Составить уравнения по законам Кирхгофа для определения токов.
Определить .
1.4.2. Дано: 
Ом; 
Ом; В.
Определить , 
, указать режим работы данной цепи.
Определить .
1.4.3. Дано: 
Ом; 
В.
Определить показания вольтметра, указать режим работы данной цепи.
Определить .
1.4.4. Дано: 
А; 
А; 
А.
Определить 
, указать режим работы данной цепи.
Определить .
1.4.5. Дано: Ом; Ом; 
В; 
В.
Определить показания вольтметра.
Определить токи 
, если 
мА; 
В; 
кОм; 
В; 
В.
1.4.6. Определить .
Определить мощность, отдаваемую источником тока.
1.4.7. Определить .
Определить .
Баланс мощностей
В любой электрической цепи должен соблюдаться энергетический баланс – баланс мощностей: алгебраическая сумма мощностей всех источников энергии равна арифметической сумме мощностей всех приемников энергии:
.
Мощность источника ЭДС положительна, если ток в ветви с источником совпадает по направлению с ЭДС, такой источник является генератором.
Мощность источника ЭДС отрицательна, если ток в ветви с источником направлен противоположно ЭДС, в этом случае источник потребляет энергию.
При определении мощности источника тока напряжение берется как разность потенциалов между узлом, к которому подходит ток источника 
и узлом, от которого он отходит.
Метод контурных токов
При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет неизвестный контурный ток, а источники тока создают известные контурные токи. Относительно неизвестных контурных токов составляют систему уравнений вида:
где 
- контурные токи;
- собственные сопротивления контуров;
- сопротивления смежной ветви между контурами.
Сопротивление смежной ветви между «k» и «m» контурами ( 
) входит в уравнение со знаком «+», если направления контурных токов 
и 
вдоль этой ветви одинаковы, и со знаком «-», если их направления противоположны.
- контурные ЭДС, равные алгебраической сумме э.д.с. этого контура. В них со знаком «+» входят те ЭДС, направления которых совпадают с обходом контура.
Токи в ветвях находят как суперпозицию контурных токов.
Если схема содержит не только источники ЭДС., но и источники тока, то полагают, что ток источника тока замыкается по любым ветвям так, что вместе с ветвью источника создается замкнутый контур. Падение напряжения, вызванное током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитывается при записи левой части уравнений. Эти напряжения можно также учесть с обратным знаком в правой части уравнений.
ПРИМЕР 1.6.1
Дано: 
В; 
А; 
Ом; 
Ом; Ом; 
Ом; 
Ом.
Определить токи в ветвях методом контурных токов
. 
Решение:
В схеме 6 ветвей, 4 узла, 1 источник тока. Число уравнений, которые необходимо составить методом контурных токов: 
.
Задаем направление контурных токов 
и 
, полагая, что ток источника тока замыкается по резисторам и .
Составляем систему уравнений:
Подставляем числовые значения:
Решая эти уравнения, находим контурные токи:
А,
А.
Искомые токи: 
A;
А;
А;
А;
А.
Составим уравнение баланса мощностей:
.
Вт,
Вт.
, пусть 
, тогда 
В.
1.6.1. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.
Дано: Ом; 
Ом; Ом; 
Ом; В; 
А.
Определить токи в ветвях методом контурных токов.
1.6.2. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.
Дано: 
Ом; 
Ом; Ом; 
В; 
А.
Определить токи в ветвях методом контурных токов.
1.6.3. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.
Дано: 
Ом; 
Ом; В; В; 
В; А.
Определить токи в ветвях методом контурных токов.
1.6.4. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.
Дано: 
Ом; В; В; В; 
В; А.
Определить токи в ветвях методом контурных токов.
1.6.5. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.
Дано: 
Ом; 
Ом; 
В; 
В; А.
Определить токи в ветвях методом контурных токов.
1.6.6. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.
Дано: 
Ом; А; 
Ом; В; 
В.
Определить токи в ветвях методом контурных токов.
1.6.7. Составить уравнения для расчета цепи методом контурных токов.
Дано: Ом; Ом; 
Ом; Ом; Ом; 
Ом; В; 
В; 
В; 
А; 
А.
Определить токи в ветвях методом контурных токов.
Потенциальная диаграмма
Потенциальная диаграмма – это график распределения потенциалов вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс на нем откладывают сопротивления вдоль контура, начиная с точки, потенциал которой принимают равным нулю, по оси ординат - потенциалы. Каждой точке рассматриваемого контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме.
ПРИМЕР 1.7.1.
Дано: Ом; Ом; Ом; 
Ом; 
В; 
В; 
А; 
А; 
А.
Построить потенциальную диаграмму для контура авсdа.
Решение: Подсчитаем суммарное сопротивление контура авсdа 
Ом и выберем масштабы по оси ординат. Точку а помещаем в начало координат. Определяем потенциалы в, с, d и их координаты.
Принимаем 
. Токораспределение в схеме при заземлении одной точки не изменится, т.к. никаких новых ветвей при этом не образуется.
В, 
;
В, 
;
В, 
;
В, 
.
Метод узловых потенциалов
Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Число неизвестных в этом методе равно числу узлов минус один.
Потенциал одного узла схемы принимают равным нулю, для остальных составляют систему уравнений вида
,
где 
- сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле к;
- сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы к и m, взятая со знаком «-»;
- узловой ток узла к. Находится как алгебраическая сумма токов короткого замыкания всех ветвей, сходящихся в узле к. С плюсом берутся те токи, источники которых направлены к узлу к.
Если между двумя узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна нулю.
После решения системы относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома.
ПРИМЕР 1.8.1.
Дано: Ом; Ом; Ом; Ом; 
В; 
В; 
В; А.
Определить токи методом узловых потенциалов
. 
Решение:
Примем потенциал узла 4 равным нулю: 
, тогда потенциал 
В.
Составим уравнения для узлов 1 и 2 (при этом учтем, что проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2, 
):
Подставляем числовые значения:
В;
В
Токи в ветвях находим по закону Ома:
А;
А;
А;
А.
Ток находим по первому закону Кирхгофа, примененному к узлам 3 или 4: 
А или 
А.
ЗАДАЧИ
1.8.1. а) Составить уравнения для расчета цепи методом узловых потенциалов.
б) Определить токи в ветвях методом узловых потенциалов, если Ом; Ом; 
Ом; Ом; Ом; 
Ом; 
Ом; В; В; 
В; 
В.
Дано: Ом; Ом; В; В; А.
Определить токи методом узловых потенциалов. Построить потенциальную диаграмму для контура 1‑2‑3‑4‑1.
1.8.2. а) Составить уравнения для расчета цепи методом узловых потенциалов.
б) Определить токи в ветвях методом узловых потенциалов, если 
Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; 
Ом; 
Ом; В; В; В; 
В. Построить потенциальную диаграмму для контура 1-2-3-4-5-6.
Дано: Ом; В; 
В; А.
Определить токи в ветвях методом узловых потенциалов.
1.8.3. а) Составить уравнения для расчета цепи методом узловых потенциалов.
б) Определить токи в ветвях методом узловых потенциалов, если 
A; 
A; 
A; 
Ом; 
Ом; 
Ом; 
См; 
См; 
См; 
В.
Дано: Ом; Ом; 
Ом; В; В; 
В.
Определить токи в ветвях методом узловых потенциалов.
1.8.4. а) Составить уравнения для расчета цепи методом узловых потенциалов.
б) Определить токи в ветвях методом узловых потенциалов, если Ом; 
Ом; Ом; Ом; 
Ом; 
Ом; 
Ом; В; В; 
В; В; А
Дано: Ом; 
Ом; В; В; 
В.
Определить токи методом узловых потенциалов. Построить потенциальную диаграмму для контура 1-2-3-4-1.
1.8.5. Определить токи в ветвях методом узловых потенциалов, если 
См; 
См; 
См; 
См; 
См; 
В; В; 
В.
Дано: Ом; 
Ом; В; В; A.
Определить токи в ветвях методом узловых потенциалов.
1.8.6. а) Составить уравнения для расчета цепи методом узловых потенциалов.
б) Рассчитать токи в ветвях, если Ом; Ом; 
Ом; 
Ом; 
Ом; В; 
В; 
В; А.
Дано: Ом; 
Ом; 
Ом; 
А; 
В; В.
Методом узловых потенциалов найти токи и .
1.8.7. а) Составить уравнения для расчета цепи методом узловых потенциалов.