Вычислим значение коэффициента корреляции

Задача 10

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение стороны АВ; 3) уравнение высоты CD и его длину; 4) уравнение окружности, для которой высота CD является диаметром.

А (-2;2) B (10;-7) С (8;7)

Решение:

Длина стороны АВ.

АВ=√(2-(-7))²+(10-(-2))² = √(81+144)=√225= 15

Уравнения стороны АВ.

Уравнение прямой Y=kX+b.

Уравнение прямой АВ
k =dY/dX = - 9/12 = -3/4
b = Ay - k*Ax = 2 -(-3/4)*(-2) = 0.5
Окончательно уравнение прямой Y(AB) = -3/4*X + 0.5
4.Уравнение высоты CD и её длину.
Высота CD - перпендикуляр к прямой АВ и наклон по формуле
k = - 1/k(AB) = - 1 /(-3/4) = 4/3.
Сдвиг В по точке С(8;7).
b = Cy - k*Cx = 7 - 4/3*8 = - 3, 2/3
Окончательно уравнение высоты CD - Y(CD) = 4/3*X – 3, 2/3
Дополнительно находим точку пересечения D решая систему уравнений из параметрических уравнений прямых AB и CD.
4*Y+3*X = 2 - уравнение AB
3*Y - 4*X = -11 - уравнение СD.
Решаем быстро методом Крамера - det D = -25, detY= 25, detX= 50.
Dx = 2 Dy= - 1.
Длина высоты CD - по теореме Пифагора.
CD = √(8² + 6²)= √100 = 10 - длина высоты - диаметр окружности -
5. Уравнение окружности с центром O на высоте CD.
Центр окружности - середина отрезка AD -
Ox = (Cx+Dx)/2 = (8+2)/2 = 5
Oy = *Cy+Dy)/2) = (7+(-1))/2 = 3.
Уравнение окружности со смещенным центром в т. О(5;3) и радиусом R=5.
(x-5)² + (y-3)² = 25

Задача 20

Найти производную данной функции:

;

Решение:

Задача 30

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить их графики. При исследовании функции нужно найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума функции, интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

Решение:

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

Решение ищем по формуле:
(xⁿ)' = n x^n-1

(x)' = 1
Ответ:


Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
75 • x² = 0

Откуда:x₁ = 0

(-∞ ;0)	(0; +∞)
f'(x) > 0	f'(x) > 0
функция возрастает	функция возрастает

3. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

Откуда точки перегиба:x₁ = 0

(-∞ ;0)	(0; +∞)
f''(x) < 0	f''(x) > 0
функция выпукла	функция вогнута

Задача 40

Вычислить указанные неопределенные интегралы:

Решение:

Задача 50

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж

у = sinx , х=0, х= , у=0.

Решение

Объем тела вращения, образованного вращением графика y=f(x) вокруг оси Ox, может быть вычислен по формуле

a=0, b= , f(x)=sinx, подставляем в формулу, получаем

Задача 60

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию

, у(0) = 1.

Решение

y'-y=exp(2*x)
Представим в виде:
-y+y' = e^{2 • x}
Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:
-y+y'= 0
1. Решая его, получаем:
y' = y

Интегрируя, получаем:

ln(y) = x
y = e^x
Ищем теперь решение исходного уравнения в виде:
y(x) = C(x)(e^x), y'(x) = C(x)'(e^x) + C(x)(e^x)'
C(x) • e^x+C(x)' • e^x-y=e^{2 • x}
C(x)' • e^x = e^{2 • x}
или
C(x)' = e^x
Интегрируя, получаем:

Из условия y(x)=C(x)•y, получаем:
y(x) = C(x)•y = (C+e^x) • e^x
или
y = C • e^x+e^{2 • x}
Найдем частное решение при условии: y(0) = 1
y(0) = C+1 = 1
Откуда:
c₁ = 0
Таким образом, частное решение имеет вид:
y(0) = e^{2 • x}

Задача 70

Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка.

Решение:

Вычислим корни характеристического уравнения:

x=(-b±√D)/2a, D=b²-4ac

Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k1 = 3.

Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой

где C1, C2 − произвольные действительные числа.

Задача 80

Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что суммам выпавших очков равна восьми

Решение:

2 броска, значит, количество возможных вариантов равно 6*6=36.
Чтобы получилось в сумме 8 при 2 бросках, должны выпасть следующие комбинации в первом и втором броске.

4+4 =8;

3+5 =8;

5+3=8 ;

2+6 =8;

6+2 =8.

Благоприятных вариантов, (которые дают в сумме 8 очков), всего 5 . А всего возможных вариантов события 36. Отношение количества благоприятных исходов к общему числу исходов 5/36=0,138888888. В ответе запишем 0, 139 (округлили до тысячных)

Задача 90

Вычислить выборочный коэффициент корреляции двух случайных величин X и Y и найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

x
y

Решение:

Rx,y

=

Mxy - MxMy   SxSy

, (1.4) где:

Mx

=

n

n Σ k = 1

xk ,

My

=

n

n Σ k = 1

yk ,

Mxy

=

n

n Σ k = 1

(1,5)xkyk

Sx2

=

n

n Σ k = 1

xk2 - Mx2 ,

Sy2

=

n

n Σ k = 1

yk2 - My2 (1,6)

Вычислим коэффициент корреляции по формуле ( 1.4 ), для этого вычислим значения x_k², y_k² и x_ky_k и занесем их в таблицу 1.

Таблица 1

k	xk	yk	хk2	yk2	хkyk
			484.00000	625.00000	550.00000
			529.00000	900.00000	690.00000
			576.00000	900.00000	720.00000
			625.00000	900.00000	750.00000
			625.00000	1225.00000	875.00000
			529.00000	625.00000	575.00000
			324.00000	625.00000	450.00000
			441.00000	400.00000	420.00000
			361.00000	100.00000	190.00000
			400.00000	100.00000	200.00000

Вычислим M_x по формуле

Сложим последовательно все элементы x_k

x₁ + x₂ + … + x₁₀ = 22.00000 + 23.00000 + ... + 20.00000 = 220.000000

Разделим полученную сумму на число элементов

220.00000 / 10 = 22.00000

M_x = 22.000000

Аналогичным образом вычислим M_y.

Сложим последовательно все элементы y_k

y₁ + y₂ + … + y₁₀ = 25.00000 + 30.00000 + ... + 10.00000 = 240.000000

Разделим полученную сумму на число элементов выборки

240.00000 / 10 = 24.00000

M_y = 24.000000

Аналогичным образом вычислим M_xy.

Сложим последовательно все элементы 6-го столбца таблицы 1

550.00000 + 690.00000 + ... + 200.00000 = 5420.000000

Разделим полученную сумму на число элементов

5420.00000 / 10 = 542.00000

M_xy = 542.000000

Вычислим значение S_x²

Сложим последовательно все элементы 4-го столбца таблицы 1

484.00000 + 529.00000 + ... + 400.00000 = 4894.000000

Разделим полученную сумму на число элементов

4894.00000 / 10 = 489.40000

Вычтем из последнего числа квадрат величины M_x получим значение для S_x²
S_x² = 489.40000 - 22.00000² = 489.40000 -484.00000 = 5.40000

Вычислим значение S_y²

Сложим последовательно все элементы 5-го столбца таблицы 1

625.00000 + 900.00000 + ... + 100.00000 = 6400.000000

Разделим полученную сумму на число элементов

6400.00000 / 10 = 640.00000

Вычтем из последнего числа квадрат величины M_y получим значение для S_y²

S_y² = 640.00000 - 24.00000² = 640.00000 -576.00000 = 64.00000

Вычислим произведение величин S_x² и S_y².

S_x²S_y² = 5.40000 • 64.00000 = 345.600000

Извлечем и последнего числа квадратный корень, получим значение S_xS_y.

S_xS_y = 18.59032

Вычислим значение коэффициента корреляции

R = (542.00000 - 22.00000 • 24.00000) / 18.59032 = (542.00000 –

528.00000) / 18.59032 = 0.75308

ОТВЕТ: R_x,y = 0.753080

4. Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии.

Уравнение линейной регрессии представляет собой уравнение прямой, аппроксимирующей (приблизительно описывающей) зависимость между случайными величинами X и Y. Если считать, что величина X свободная, а Y зависимая от Х, то уравнение регрессии запишется следующим образом

Y = a + b•X ( 2.1 ), где:

b =

Rx,y

σy   σx

=

Rx,y

Sy   Sx

a = M_y - b•M_x

Рассчитанный коэффициент b называют коэффициентом линейной регрессии. В некоторых источникахa называют постоянным коэффициентом регрессии и b соответственно переменным.
Погрешности предсказания Y по заданному значению X вычисляются по формулам :

σy/x = σy

√ 1-R2x,y

= Sy

√ 1-R2x,y

- абсолютная погрешность,

δy/x =

σy/x   My

100% - относительная погрешность

Величину σ_y/x еще называют остаточным средним квадратическим отклонением, оно характеризует уход величины Y от линии регрессии, описываемой уравнением при фиксированном (заданном) значении X.

Вычислим отношение

Sy2   Sx2

.

S_y² / S_x² = 64.00000 / 5.40000 = 11.85185

Вычислим отношение

Sy   Sx

.

Извлечем из последнего числа квадратный корень - получим:

S_y / S_x = 3.44265

Вычислим коэффициент b

b = 0.75308 • 3.44265 = 2.59259

Вычислим коэффициент a

a = 24.00000 - 2.59259 • 22.00000 = -33.03704

Оценим погрешности уравнения регрессии.

Извлечем из S_y² квадратный корень получим:

Sy =	√ 64.00000	= 8.00000 ;

Возведем в квадрат R_x,y получим:

R²_x,y = 0.75308² = 0.56713

Вычислим абсолютную погрешность (остаточное среднее квадратическое отклонение)

σy/x = 8.00000

√ 1 - 0.56713

= 5.26343

Вычислим относительную погрешность

δ_y/x = ( 5.26343 / 24.00000)100% = 21.93096%