Элементы квантовой электроники 2 страница
Примеры решения задач
1.Движение тела массой 1 кг задано уравнением 
.
Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислитьсилу, действующую на тело в конце второй секунды.
Решение.Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени:
.
Мгновенное ускорение определяемся первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени:
Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F=ma,где а, согласно условию задачи, - ускорение в конце второй секунды. Тогда
Ответ: 
2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью 0,8 с. Какой покажется наблюдателю его длина?
Дано: ℓо= 1 м; ν = 0,8 с.
Найти: ℓ.
Решение.Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой
(1)
где ℓо- длина покоящегося стержня; ν - скорость его движения; с -скорость света в вакууме. Подставляя в формулу (1) числовые значения имеем
Ответ: ℓ = 0,6 м..
3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями;:1) n=0,5си u=0,75с; 2) ν=си u=0,75с. Найти их относительнуюскорость в первом и втором случаях.
Дано: 1) n=0,5с, и = 0,75с; 2) n=с, u = 0,75с.
Найти: 
Решение.Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности,
где ν, u- скорости соответственно первой и второй частиц; и'- их относительная скорость; с - скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим:
Это означает, что, во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во-вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.
Ответ: 
4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаютсямежду собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнуротклонился на угол = 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным инеупругим. Определить энергию, израсходованную на деформациюшаров при ударе.
Дано: m = 0,5 кг; m2=1кг; α = 60°; ℓ=0,8 м.
Найти: h1; ∆Eg.
Решение.Так как удар шаров неупругий, то после удара они будут двигаться с общей скоростью ν. Закон сохранения импульса при этом ударе имеет вид
(1)
Здесь n1 и ν2 - скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равно нулю (n2=0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол αему сообщается потенциальная энергия, котораязатем переходит в кинетическую: 
. Таким образом, 
, поэтому
(2)
Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:
(3)
Кинетическая энергия, которой обладают после удара, переходит в потенциальную:
,
Где h – высота поднятия шаров после столкновения. Из формулы (4) находим 
, или с учетом (3),
;
.
При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара:
.
Используя уравнения (2) и (3), получаем
;
.
Ответ: 
; 
.
5. Молот массой 70 кг падает с высоты 5м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему «молот – изделие – наковальня» считать замкнутой.
Дано: 
; 
; 
.
Найти: 
Решение.По условию задачи, система «молот – изделие – наковальня» считается замкнутой, а удар неупругим. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.
Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т.е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем
,
Где 
- скорость молота в конце падения с высоты h; 
-общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле
.
Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения импульса:
.
Для рассматриваемой системы закон сохранения импульса имеет вид 
, откуда
.
Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим
;
Ответ: 
.
6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением 
. Определить работу силы за 10 с с начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.
Дано: 
; 
Найти: А, Т=f(t).
Решение. Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл
.
Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна
, или 
.
Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим
;
.
Тогда
Из выражения (3) определим ds:
.
Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим
.
По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 с с начала ее действия:
.
Кинетическая энергия определяется по формуле
Подставляя (3) в (7), имеем
.
Ответ: 
; 
.
7. Какую скорость нужно сообщить ракете, чтобы на, стартовав с Земли, не вернулась на Землю? Сопротивление атмосферы не учитывать.
Дано: 
; 
; 
.
Найти: 
.
Решение.С удалением ракеты от Земли будет увеличиваться ее потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая. По закону сохранения энергии,
,
Где m-масса ракеты; М- масса Земли; G – гравитационная постоянная; 
и 
- скорости ракеты относительно Земли в начальный и рассматриваемый моменты; 
и R – расстояния от центра Земли до ракеты в начальный и рассматриваемый моменты времени; 
- потенциал гравитационного поля Земли на расстоянии R от ее центра.
После преобразования уравнения (1) имеем 
.
Ракета не вернется на Землю, если ее скорость ν будет в бесконечности равна нулю, т.е. 
при 
. В этом случае 
.
Из закона всемирного тяготения следует, что поверхности Земли 
, откуда
,
где g- ускорение свободного падения. Подставим (2) в (3):
или 
.
Считая, что ракета приобретает нужную скорость ν0 уже вблизи поверхности Земли, находим
.
Такая скорость необходима для преодоления гравитационного поля Земли. Она называется второй космической или параболической скоростью.
Ответ: 
.
8. Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой скоростью 10 с-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.
Дано: 
.
Найти: 
.
Решение.Используем закон сохранения момента импульса
,
Где Ji – момент инерции стержня относительно оси вращения.
Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с (1) запишем
.
Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен
.
По теореме Штейнера,
,
где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.
Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня и перпендикулярно ему:
; 
.
Подставляя, формулы (3) и (4) в (2), имеем:
,
Откуда
, 
.
Ответ: 
.
9.Маховик массой 4 кг вращается с частотой 720 мин-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.
Дано: ω=0; m=4 кг; n=720 мин-1=12c-1; 
; 
.
Найти: М; N.
Решение.Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:
,
где J- момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; 
- изменение угловой скорости за промежуток времени 
.
По условию, 
, где 
- начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость 
. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика, тогда 
и 
. Момент инерции маховика 
, где m- масса маховика; R- его радиус. Формула (1) принимает вид
,
Откуда
.
Угол поворота (т.е. угловой путь φ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:
,
где 
- угловое ускорение.
По условию, 
, 
, 
. Тогда выражение (2) можно записать так:
.
Так как 
, 
, то число полных оборотов
; 
.
Ответ: 
.
10. В сосуде объемом 2 м2 находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 270С. Определить давление и молярную массу смеси газов.
Дано: V=2м3; m1=4кг; М1=4×10-3 кг/моль; m2=2кг; М2 =2×10-3 кг/моль; Т=300К.
Найти: р; М.
Решение. Воспользуемся уравнением Клайперона – Менделеева, применив его к гелию и водороду:
;
,
Где р1- парциальное давление гелия; М1 – его молярная масса; V – объем сосуда; Т-температура газа; R=8,31 Дж/(моль×К) – молярная газовая постоянная; p2–парциальное давление водорода; m2- масса водорода; М2 – его молярная масса. Под парциальным давлением р1 и р2 понимают то давление, которое производил бы газ, если бы он один находился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:
. (3)
Из уравнений (1) и (2) выразим р1 и р2 и подставим в уравнение (3). Имеем
. (4)
Молярную массу смеси газов найдем по формуле
,
где v1 и v2 – число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов определим по формулам:
;
.
Подставляя (6) и (7) в (5), найдем
.
Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем
.
.
Ответ: р=2493 кПа; М=3×10-3кг/моль.
11. Чему равны средние значения кинетической энергии поступательного и вращательного движений молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?
Дано: m=2 кг; Т=400К; М=2×10-3 кг/моль.
Найти: 
; 
.
Решение.Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода – двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия 
, где k – постоянная Больцмана; Т- термодинамическая температура. Поступательному движению приписываются три (i=3), а вращательному две (i=2)степени свободы. Энергия одной молекулы
; 
.
Число молекул, содержащихся в массе газа,
,
Где ν – число молей; NА – постоянная Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода
, (1)
Где R=kNA – молярная газовая постоянная.
Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода
.
Подставляя числовые значения в формулы (1) и (2), имеем
Ответ: 
; 
.
12.Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде вместимостью 2 л при температуре 270 С и давлении 100 кПа.
Дано: 
; 
.
Найти: 
.
Решение.Среднюю длину свободного пробега молекул кислорода вычисляют по формуле
,
где d- эффективный диаметр молекулы кислорода; n- число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения
, (2)
Где k-постоянная Больцмана. Подставляя (2) в (1), имеем
Число соударений Z, происходящих между всеми молекулами за 1с, равно
, (4)
Где N- число молекул кислорода в сосуде объемом 
- среднее число соударений одной молекулы за 1 с. Число молекул в сосуде
(5)
Среднее число соударений молекулы за 1 с
, (6)
Где 
- средняя арифметическая скорость молекулы
.
Подставляя в (4) выражения (5), (6) и (7), находим
.
Подставляя числовые значения, получим
Ответ: 
, 
.
13. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, находящегося при температуре Т=300 К и давлении 105 Па.
Дано: 
; 
; 
.
Найти: 
.
Решение.Коэффициент диффузии определяется по формуле
,
где 
- средняя арифметическая скорость молекул, равная