Метод вращений решения полной проблемы собственных значений
Метод вращений предназначен для решения полной проблемы собств. знач. для эрмитовых матриц. В алгебре доказывается, что для эрмитовой матрицы существует унитарная матрица
, такая, что преобр. подобия с ней приводит матрицу
к диагональной матрице
:
(1)
Для унитарной матрицы по определению сопряженная матрица равна обратной: . Т.о., равенство (1) можно переписать в виде
(2)
Собств. знач. диагональной матрицы явл. ее диагональные элем.
, а собств. векторами – соотв. единичные (корд.) векторы
, где
- символ Кронекера. Выполнение равенств
в данном случае очевидно.
Строки унитарной матрицы явл. собств. векторами матрицы
. Это следует из (2):
. Действительно, отсюда имеем
или
или
, где
.
Вещественные симметрические матрицы явл. частным случаем эрмитовых матриц. Рассм. метод вращений для вещественных симметрических матриц.
Найдем наибольший по модулю внедиагональный элемент вещественной симметрической матрицы . Пусть таковым оказался элемент
.Без ограничения общности можно считать
.
Введем в рассм. матрицу вращения
Умножим матрицу справа на матрицу
. Получим матрицу
, кот. отличается от матрицы
только столбцами i и j:
(3),
(4)
Из (3) и (4) при этом следует, что сумма квадратов элем. этих столбцов остается без изменения:
(5)
Умножим матрицу слева на матрицу
. Получим матрицу
, кот. отличается от матрицы
только строками i и j:
(6),
(7)
Из (6) и (7) при этом следует, что сумма квадратов элем. этих строк остается без изменения:
(8)
Т.о., преобр. подобия (9) не меняет суммы квадратов элементов матрицы:
Преобр. подобия (9) также сохраняет симметричность матрицы: .
Теперь начинается самое главное. Преобр. подобия (9) меняет только два диагональных элемента. При этом, из симметрии , формул (8) и (5) следует: Это значит, что при
преобр. (9) увеличит сумму квадратов диагон. элем. и соотв. уменьшит сумму квадратов внедиагон. элем. матрицы на величину
. Из (6) и (4) получаем ур. для определ. соотв. угла
Отсюда находим искомый угол поворота ,
(10)
Мы рассм. идею метода вращений и получили расчетные форм. метода. В методе вращений строится последовательность матриц (11)
по правилу (12)
Построение последов. (11) заканчивается получением матрицы , недиагон. элем. кот. можно считать равными нулю в пределах заданной точности. При этом ее диагон. элем. принимаются за собств. знач.
В качестве собств. векторов можно взять соотв. строки матрицы . Может оказаться, что собств. векторы проще находить непосредственно решением сист.
.
Теорема. Матричная последов. (11) в методе вращений сходится к диагон. матрице со скоростью геометрической погрешности.
Доказательство. Обозначим . Имеем
Следовательно, сумма квадратов недиагон. элем. в матричной последов. (11) сходится к нулю не хуже, чем геометрическая последов. со знаменателем
.