Требования к оформлению контрольной работы 7 страница

,

где r – радиус шарика; v – его скорость.

Формула справедлива для скоростей, при которых число Рейнольдса много меньше единицы ( ).

УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

• Относительная деформация при продольном растяжении или сжатии тела:

,

где — относительное удлинение (сжатие); x — абсолютное удлинение (рис. 4.1); l — начальная длина тела.

Относительная деформация при сдвиге определяется из формулы:

,

где — относительный сдвиг; Δs — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга; h — расстояние между- слоями; — угол сдвига. (Для малых углов )

• Напряжение нормальное:

,

где — упругая сила, перпендикулярная поперечному сечению тела; S — площадь этого сечения.

Напряжение тангенциальное:

,

где — упругая сила, действующая вдоль слоя тела; S — площадь этого слоя.

• Закон Гука для продольного растяжения или сжатия:

или ,

где k — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость); Е — модуль Юнга.

Закон Гука для сдвига:

,

где G — модуль поперечной упругости (модуль сдвига).

• Момент, закручивающий на угол φ однородный круглый стержень:

,

где — постоянная кручения.

• Потенциальная энергия растянутого или сжатого стержня при однородной деформации:

или ;

при неоднородной деформации:

где V — объем тела; объемная плотность энергии растянутого или сжатого стержня

ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

· Количество вещества — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п ), содержащихся в системе или теле. Количество вещества выражается в молях. Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в изотопе углерода массой 0,012 кг. Количество вещества:

=N/N_A

где N — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); N_A — постоянная Авогадро:

N_A =6,02×10²³ моль^-1.

· Молярная масса вещества:

,

где m — масса однородного тела (системы); — количество вещества этого тела.

· Относительная молекулярная масса вещества:

,

где n_i — число атомов i-го химического элемента, входящего в состав молекулы данного вещества; — относительная атомная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева.

· Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой M_r вещества:

,

где k=10^-3 кг/моль.

· Молярная масса смеси газов

,

где m_i — масса i-го компонента смеси; v_i — количество вещества i-го компонента смеси; k — число компонентов смеси.

· Массовая доля i-го компонента смеси газов

,

где m_i — масса i-го компонента смеси; m — масса смеси.

· Уравнение состояния идеальных газов (уравнение Клапейрона — Менделеева)

или ,

где m — масса газа; М — его молярная масса; R — молярная газовая постоянная; Т — термодинамическая температура; — количество вещества.

· Закон Дальтона:

,

где p — давление смеси газов; p_i — парциальное давление i-го компонента смеси; k — число компонентов смеси.

· Концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы

,

где V — объем системы.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

· Связь между молярной ( ) и удельной (с) теплоемкостями газа

,где М — молярная масса газа.

· Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны (в целях упрощения записи в индексах обозначений молярной теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме букву « » будем опускать)

; ,

где для газа одноатомных молекул, для газа двухатомных молекул, для газа трех- и более атомных молекул; — молярная газовая постоянная.

· Уравнение Майера

.

· Показатель адиабаты

.

· Внутренняя энергия идеального газа

,

где — количество вещества.

· Работа, связанная с изменением объема газа, в общем случае вычисляется по формуле

,

где V₁ — начальный объем газа; V₂ — его конечный объем.

Работа газа:

а) при изобарном процессе (p=const)

;

б) при изотермическом процессе (T=const)

;

в) при адиабатном процессе

, или ,

где T₁ — начальная температура газа; T₂ — его конечная температура.

· Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатном процессе)

.

· Связь между начальным и конечным значениями параметров состояний газа при адиабатном процессе:

.

· Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде

Q=DU+A,

где Q – количество теплоты, сообщённое газу; DU—изменение его внутренней энергии; А — работа, совершаемая газом против внешних сил.

Первое начало термодинамики:

а) при изобарном процессе

б) при изохорном процессе (A=0)

;

в) при изотермическом процессе (DU=0)

,

г) при адиабатном процессе (Q=0)

.

· Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем случае

,

где Q₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя; Q₂ – количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.

КПД цикла Карно

, или ,

где T₁ — температура нагревателя; T₂ — температура охладителя.

· Изменение энтропии

где A и B — пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование проводится по любому пути.

Примеры решения задач

Пример 1. Вода подается в фонтан из большого цилиндрического бака (рис. 19) и бьет из отверстия II—II со скоростью v₂=12 м/с. Диаметр D бака равен 2м,диаметр d сечения II—II равен 2 см. Найти: 1) скорость v₁ понижения воды в баке; 2) давление p₁, под которым вода подается в фонтан; 3) высоту h₁ уровня воды в баке и высоту h₂ струи, выходящей из фонтана.

Решение. 1. Проведем сечение I—I в баке на уровне сечения II—II фонтана. Так как площадь S₁ сечения I—I много больше площади S₂ (рис. 19) сечения II—II, то высоту h₁ уровня воды вбакеможно считать длямалого промежутка времени постоянной, а поток – установившимся. Для установившегося потока справедливо условие неразрывности струи: v₁S₁=v₂S₂ откуда v₁=v₂S₂/S₁, или

v₁=v₂(d/D)². (1)

Подставив значения заданных величин в (1) и произведя вычисления, найдем

v₁=0,0012 м/с.

С такой же скоростью будет понижаться уровень в баке. Как видно, эта скорость очень мала по сравнению со скоростью струи.

2. Давление p₁, под которым вода подается в фонтан, найдем по уравнению Бернулли. В случае горизонтальной трубки тока оно имеет вид

. (2)

Учтя, что p₂=0 (под давлением подразумевается избыточное над атмосферным давление), из уравнения (2) получим

. (3)

Так как v₁<<v₂, то из равенства (3) следует

.

После вычислений, произведенных по этой формуле, найдем

p₁=72 кПа.

3. Высоту h₁ уровня воды в баке найдем из соотношения , откуда

.

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

h₁=7,35 м.

Зная скорость v₂, с которой вода выбрасывается фонтаном, найдем высоту h₂, на которую она будет выброшена:

=7,35 м.

Подчеркнем, что высота уровня воды в баке равна высоте, на которую поднимается фонтан воды (по правилу сообщающихся сосудов). Это замечание справедливо, если пренебречь сопротивлением воздуха.

Пример 2. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Движение считать установившимся.

Решение. Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости от размеров, формы тела и его скорости. Характер движения зависит также от свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса.

Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром d, то число Рейнольдса определяется по формуле

, (1)

а критическое значение этого числа Re_кр=0,5.

Скорость v выразим, исходя из следующих соображений. На свинцовый шарик, падающий в глицерине, действуют три силы:

1) сила тяжести шарика

,

где _св — плотность свинца; V— объем шарика;

2) выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда

,

где _гл—плотность глицерина;

3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса,

.

При установившемся движении шарика в жидкости (v=const) сила тяжести шарика уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы внутреннего трения, т. е.

,

откуда

(2)

Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно d, найдем

.

Максимальное значение диаметра d_max при котором движение остается еще ламинарным, соответствует критическому значению числа Рейнольдса Re_кp. Поэтому

.

Подставив сюда значения величин h = 1,48 Па·с; Re_кp=0,5; _cв=11300 кг/м³; _гл=1260 кг/м³ и произведя вычисления, получим

d_max=5,29 мм.

Пример 3. Верхний конец стального стержня длиной l = 5 м с площадью поперечного сечения S = 4 см² закреплен неподвижно, к нижнему подвешен груз массой кг. Определить: 1) нормальное напряжение материала стержня; 2) абсолютное х и относительное ε удлинения стержня; 3) потенциальную энергию растянутого стержня.

Решение. 1. Нормальное напряжение материала растянутого стержня выражается формулой , где F — сила, действующая вдоль оси стержня. В данном случае F равна силе тяжести mg и поэтому можем записать

.

Сделав вычисления, найдем

МПа.

2. Абсолютное удлинение выражается формулой

,

где Е — модуль Юнга.

Подставив значения величин F, l, S и Е в эту формулу (значение Па из справочных данных) и произведя вычисления, получим

.

Относительное удлинение стержня

=2,46·10^-4.

3. Потенциальная энергия растянутого стержня ,

где V — объем тела, равный S×l.

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

=12,1 Дж.

Пример 4. Найти молярную массу М смеси кислорода массой m₁=25 г и азота массой m₂=75 г.

Решение. Молярная масса смеси М_см есть отношение массы смеси т_см к количеству вещества смеси _см т. е.

.(1)

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси m_см=m₁+m₂. Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов.

Подставив в формулу (1) выражения m_см и _см, получим

. (2)

Молярные массы M₁ кислорода и М₂ азота:

M₁ =32×10^-3 кг/моль, М₂=28×10^-3 кг/моль. Подставим значения величин в (2) и произведем вычисления:

Пример 5. Определить: 1) число N молекул воды, занимающей при температуре t=4°C объем V= 1 мм³; 2) массу m₁ молекулы воды; 3) диаметр d молекулы воды, считая, что молекулы имеют форму шариков, соприкасающихся друг с другом.

Решение. 1. Число N молекул, содержащихся в теле некоторой массы m, равно произведению постоянной Авогадро n_a на количество вещества : . Так как , где М — молярная масса, то . Выразив в этой формуле массу как произведение плотности r на объем V, получим

. (1)

Все величины, кроме молярной массы воды, входящие в (1), известны: r=l×10³ кг/м³, V=1 мм³=1×10^-9 м³, n_a=6,02×10²³ моль^-1 .

Зная химическую формулу воды (Н₂О), найдем молярную массу воды:

M= M_rk=(2×1+1×16)×10^-3 кг/моль=18×10^-3 кг/моль. Подставим значения величин в (1) и произведем вычисления:

N=[1×10³×1×10^-9/(18×10^-3)] 6,02×10²³ молекул=3,34·10¹⁹ молекул.

2. Массу одной молекулы воды найдем делением ее молярной массы на постоянную Авогадро: m₁=M/n_a. Произведя вычисления по этой формуле, получим

.

3. Будем считать, что молекулы плотно прилегают друг к другу, тогда на каждую молекулу диаметром d приходится объем (куби­ческая ячейка) V₁=d³. Отсюда

. (2)

Объем V₁ найдем, разделив молярный объем V_m вещества на число молекул в моле, т. е.на постоянную Авогадро n_a: V₁= V_m/n_a. Молярный объем равен отношению молярной массы к плотности вещества, т. е. V_m=M/r. Поэтому можем записать, что V₁=M/(rn_a).Подставив полученное выражение V₁ в формулу (2), получим

. (3)

Проверим, дает ли правая часть выражения (3) единицу длины:

.

Теперь подставим значения величин в формулу (3) и произведем вычисления:

d=3,11×10^-10 м=311 пм.

Пример 6. В баллоне объемом V= 10 л находится гелий под давлением =1 МПа при температуре T₁=300 К. После того как из баллона был израсходован гелий массой m=10 г, температура в баллоне понизилась до T₂=290 К. Определить давление гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Клапейрона – Менделеева, применив его дважды к начальному и конечному состояниям газа. Для начального состояния уравнение имеет вид

p₁V =(m₁/M)RT₁, (1)

а для конечного состояния –

p₂V =(m₂/M)RT₂, (2)

где m₁ и m₂ — массы гелия в начальном и конечном состояниях.

Выразим массы m₁ и m₂ гелия из уравнений (1) и (2):

m₁=Mp₁V/(RT₁); (3)

m₂=Mp₂V/(RT₂); (4)

Вычитая из (3) равенство (4), получим

.

Отсюда найдем искомое давление:

. (5)

Проверим, дает ли правая часть формулы (5) единицу давления. Для этого выразим все величины, входящие в нее, в соответствующих единицах. Единица, в которой выражается первое слагаемое, не вызывает сомнений, так как отношение T₂/T₁ — величина безразмерная. Проверим, в каких единицах выражается второе слагаемое:

Убедившись в том, что правая часть полученной расчетной формулы дает единицу искомой величины – давления, можем подставить в (5) значения всех величин и произвести вычисления.

В формуле (5) все величины, кроме молярной массы М гелия, известны. Для гелия как одноатомного газа относительная молекулярная масса равна его относительной атомной массе А_r.

Из таблицы Д. И. Менделеева найдем А_r=4. Следовательно, молярная масса гелия М= А_r×10^-3 кг/моль =4×10^-3 кг/моль. Подставив значения величин в (5), получим

.

Пример 7. Определить количество теплоты, поглощаемой водородом массой m=0,2 кг при нагревании его от температуры t₁=0°С до температуры t₂=100 °С при постоянном давлении. Найти также изменение внутренней энергии газа и совершаемую им работу.

Решение. Количество теплоты Q, поглощаемое газом при изобарном нагревании, определяется по формуле

Q=mc_pDT, (1)

где m — масса нагреваемого газа; c_p — его удельная теплоемкость при постоянном давлении; DT — изменение температуры газа.

Как известно, . Подставив это выражение c_p в формулу (1), получим

,

где (молекула водорода двухатомная); кг/моль – молярная масса водорода.