Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями

Как и в предыдущем случае, изучается влияние двух факторов на некоторую переменную. Отличие состоит в том, что для каждой комбинации уровней имеется более одного наблюдения. Ограничимся простейшим случаем двух наблюдений для каждой комбинации уровней. В этом случае таблица исходных данных содержит по два наблюдения в каждой ячейке. Большее количество наблюдений позволяет рассматривать более сложную модель, учитывающую возможное взаимодействие факторов. Модель имеет вид:

Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru .

Здесь Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru общее среднее значение; Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru "чистые" (без учета взаимодействия) эффекты факторов А и В; Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru эффекты взаимодействия факторов; Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru случайные ошибки (они удовлетворяют тем же условиям, что и в предыдущих пунктах).

Методом наименьших квадратов находят оценки параметров модели. Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru

Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru .

Далее для дисперсионного анализа нужно вычислить следующие суммы квадратов.

Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru
Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru .

Делим эти суммы на соответствующие числа степеней свободы.

Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru

Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru .

Результаты дисперсионного анализа удобно представлять в виде следующей таблицы.

Таблица 8. Результаты дисперсионного анализа

Источник именчивости Суммы квадратов Степени свободы Средние суммы квадратов F-отношение
фактор А Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru
фактор В Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru
взаимо-действие факторов Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru
ошибка эксперимента Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru
Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru

Проверяются три гипотезы:

Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru фактор А не влияет на у;

Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru фактор В не влияет на у;

Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru взаимодействие факторов отсутствует.

Пример.

Таблица 9. Исходные данные Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru .

В А
2,38; 2,68 2,61; 2,89 2,87; 3,03 2,82; 2,46
4,20; 4,12 3,96; 4,02 5,09; 4,85 4,78; 5,22
5,52; 5,98 4,15; 5,05 5,42; 5,64 5,29; 5,87

Таблица 10. Средние значения Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru

В А Средние по строкам
2,53 2,40 2,55 2,64 2,53
4,16 4,64 4,97 5,00 4,69
5,75 4,90 5,53 5,58 5,44
Средние по столбцам 4,15 3,98 4,35 4,41 4,22

Таблица 11. Дисперсионный анализ

Источник именчивости Суммы квадратов Степени свободы Средние суммы квадратов F-отношение
фактор А Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru
фактор В Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru
взаимодействие факторов Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru
ошибка эксперимента Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru
Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru

Находим из таблицы F - распределения критические значения при α = 0,05 и степенях свободы (2; 12), (3; 12) и (6; 12) и сравниваем их с рассчитанными.

Получаем:
гипотеза Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru - гипотеза отвергается;

гипотеза Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru - гипотеза принимается;

гипотеза Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru - гипотеза отвергается.

Выводы:

· фактор А влияет на переменную у;

· фактор В при фиксированном уровне фактора А не влияет на пере-менную у;

· действие фактора В проявляется в том, что степень влияния фактора А зависит от того, на каком уровне находится фактор В.

Замечание.
В данном примере рассчитанные значения F значительно отличаются от критических, поэтому даже заметное изменение уровня значимости не отменит сделанных выводов. При других данных тот или иной выбор значения Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru может существенно повлиять на выводы. Предположим, например, что мы получили рассчитанное значение Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru , равное Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru вместо Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru . Тогда, выбрав большее значение Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru , получим меньшее значение Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru . В этом случае гипотезу Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями - student2.ru в соответствии с правилом пришлось бы отвергнуть.

Библиографический список

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1979.

2. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики (для технических приложений). – М.: Наука, 1969.

3. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. – М.: Мир, 1977.

Приложение. Варианты индивидуальных заданий по теме: "Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями".

вариант 1 B1 B2 B3 B4 A1 0.96 1.04 0.40 -0.03 A2 0.87 -0.04 -0.46 0.11 A3 0.27 0.97 0.35 -0.81   вариант 2 B1 B2 B3 B4 A1 2.68 3.29 2.88 4.45 A2 4.12 4.96 5.09 5.22 A3 5.52 4.50 5.42 5.29  
вариант 3 B1 B2 B3 B4 A1 1.08 2.52 1.75 2.65 A2 1.80 2.42 2.13 3.78 A3 1.83 2.42 2.65 3.00   вариант 4 B1 B2 B3 B4 A1 1.80 2.14 1.63 0.86 A2 3.96 1.81 1.41 2.05 A3 5.00 4.48 2.61 3.19
вариант 5 B1 B2 B3 B4 A1 3.11 1.61 2.72 2.68 A2 3.40 2.76 3.21 2.82 A3 5.20 4.36 4.97 5.60     вариант 6 B1 B2 B3 B4 A1 1.90 1.59 0.98 1.66 A2 4.22 2.21 2.77 1.45 A3 4.30 4.16 4.11 2.60  
вариант 7 B1 B2 B3 B4 A1 0.71 1.23 0.22 0.30 A2 3.53 1.71 2.72 2.17 A3 2.97 3.88 2.26 3.40   вариант 8 B1 B2 B3 B4 A1 1.68 1.86 1.57 2.17 A2 1.70 2.92 2.10 2.07 A3 2.34 2.93 3.94 4.22  
вариант 9 B1 B2 B3 B4 A1 2.91 1.87 2.23 2.43 A2 4.16 3.63 5.08 5.11 A3 4.38 4.62 5.01 6.00   вариант 10 B1 B2 B3 B4 A1 0.71 1.32 2.14 2.81 A2 3.01 2.51 2.16 2.77 A3 3.52 2.24 3.37 4.14  
вариант 11 B1 B2 B3 B4 A1 3.60 3.62 3.51 3.33 A2 3.90 5.41 5.18 4.56 A3 6.38 6.21 7.01 7.72   вариант 12 B1 B2 B3 B4 A1 1.52 2.42 2.19 2.51 A2 2.66 2.73 3.68 4.99 A3 4.18 5.54 4.56 4.87  
вариант 13 B1 B2 B3 B4 A1 2.36 2.70 3.41 2.75 A2 4.04 4.40 4.81 3.46 A3 4.83 4.61 6.07 6.40   вариант 14 B1 B2 B3 B4 A1 0.47 2.17 1.51 1.93 A2 1.44 1.55 2.06 2.22 A3 2.96 3.03 2.55 2.75  
вариант 15 B1 B2 B3 B4 A1 1.84 2.24 0.64 1.50 A2 3.04 2.25 1.91 1.21 A3 4.78 3.81 4.03 3.33   вариант 16 B1 B2 B3 B4 A1 1.07 2.07 1.00 -0.71 A2 1.54 2.85 2.15 1.28 A3 3.28 3.04 1.72 1.12  
вариант 17 B1 B2 B3 B4 A1 2.78 3.29 3.33 3.13 A2 3.35 3.94 3.48 4.15 A3 3.04 5.13 4.28 5.46   вариант 18 B1 B2 B3 B4 A1 3.18 2.75 3.49 3.36 A2 4.08 4.48 4.71 5.16 A3 5.10 6.06 6.20 5.75  
вариант 19 B1 B2 B3 B4 A1 1.86 0.93 0.66 0.65 A2 3.27 2.37 2.55 1.80 A3 3.82 3.40 4.47 4.42   вариант 20 B1 B2 B3 B4 A1 1.01 0.30 1.09 0.79 A2 1.25 0.68 1.64 -0.09 A3 0.58 0.46 0.46 0.03  
вариант 21 B1 B2 B3 B4 A1 1.47 1.40 0.77 0.36 A2 2.96 2.05 2.76 2.42 A3 2.08 3.15 3.35 3.34   вариант 22 B1 B2 B3 B4 A1 1.60 1.47 0.36 1.32 A2 4.18 3.59 3.95 2.44 A3 6.31 5.26 5.41 4.59  
вариант 23 B1 B2 B3 B4 A1 3.13 1.81 3.71 2.11 A2 2.86 3.63 4.72 3.25 A3 4.44 4.73 4.78 5.61   вариант 24 B1 B2 B3 B4 A1 2.46 2.18 2.43 1.33 A2 3.17 4.25 2.67 2.07 A3 4.45 5.48 4.08 3.66  

Содержание

1. Основные задачи………………………………………………………………….3

2. Предварительные сведения………………………………………………………3

3. Однофакторный дисперсионный анализ………………………………………..4

4. Двухфакторный дисперсионный анализ с однократными наблюдениями …..9

5. Двухфакторный анализ с многократными наблюдениями…………………...13

Библиографический список……………………………………………………….16

Приложение………………………………………………………………………...16

Наши рекомендации