Описание линейных систем управления в нормальной форме.

Калуга, 2013

Задание. Для линейной стационарной системы управления провести анализ устойчивости, точности в установившемся режиме при отработке типовых воздействий, качества переходного процесса. Определить управляющее воздействие, обеспечивающее выполнение заданных требований к качеству системы управления с использованием модального управления.

Цель работы.

Содержание работы:

· .

4. Провести описание заданной системы управления в пространстве состояния.

5. Определить управляющее воздействие, обеспечивающее выполнение заданных к системе требований, с использованием модального управления.

Замечание. При выполнении задания используются данные, полученные в домашних заданиях № 1 и № 2.

Краткие теоретические сведения

Описание линейных систем управления в нормальной форме.

Описание САУ может быть получено путём задания дифференциальных уравнений звеньев и алгебраических соотношений, выражающих связи между ними.

Метод, где математическая модель системы даётся на языке операторов звеньев и структуры связей, называется операторно-структурным.

Описание может быть дано в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных.

Рассмотрим систему ДУ в форме Коши в развёрнутом виде:

(1.1)

В модели (4.1) имеется взаимосвязанных дифференциальных уравнений 1-го

порядка, в правую часть, которых входят mразличных внешних воздействий , а

также алгебраических соотношений, связывающих p выходных (управляемых) процессов с переменными состояния , число которых (n) совпадает с числом уравнений. Коэффициенты называют параметрами системы.

Метод, где математическая модель представляет собой систему уравнений вида (4.1), называется описанием в нормальной форме Коши или методом описания в пространстве состояний.

Уравнения (4.1) удобно представить в векторно-матричной форме, если ввести следующие обозначения:

,

где - вектор переменных состояния, - вектор входных воздействий,

- вектор выходов,

, , - матрицы параметров.

С учётом введённых обозначений система уравнений (1.1) может быть записана в виде:

уравнение состояния (1.2)

уравнением выхода (1.3)

Полученные уравнения можно представить в виде структурной схемы (рис. 1.).

Рис. 1. Структурная схема системы.

Поведение и свойства системы полностью характеризуются понятием состояния, которому соответствует точка в пространстве (рис. 2). Координатами пространства состояний являются переменные системы уравнений (1.1), записанные в нормальной форме Коши.

Множество векторов называется пространством состояний.

Поведение системы (ее движение) характеризуется фазовой траекторией (рис. 2), которая определяет изменение координат системы во времени. Каждая конкретная (фиксированная) точка на фазовой траектории характеризует состояние системы при .

Фазовая траектория полностью определяет состояние системы в пространстве и во времени, поэтому вектор называют фазовым вектором или вектором переменных состояния.

Координаты называются фазовыми координатами или координатами состояния.

Фазовым пространством скалярной системы n-го порядка с переменной на выходе x(t) называют n-мерное пространство состояний, координаты которого представляют собой производные по времени .

Число координат пространства состояний равно порядку системы уравнений в форме Коши.

Рис. 2 Фазовое пространство

Координатывектора состояния – это часто абстрактные величины, лишенные физического смысла. Они необязательно соответствуют (но могут и соответствовать) реальным физическим величинам процессов, действующих в системе. Многие из них вводятся искусственно путем некоторых преобразований. Поэтому координаты соответствуют не реальной, а математической модели САУ.

Математические модели имеют разные степени адекватности, поэтому уравнения состояния не единственны.

Функции доступны наблюдению (измерению). Это реальные выходные сигналы, которые можно наблюдать (измерить).

При составлении моделей динамических систем в пространстве состояний исходными часто являются описания отдельных звеньев системы в форме дифференциальных уравнений высокого порядка с постоянными коэффициентами.

Пусть передаточная функция системы имеет вид: .

Для перехода от операторно-структурного метода описания к описанию в пространстве состояний необходимо преобразовать характеристический полином системы к приведённому виду, т.е. , тогда после обозначений

.

Передаточная функция системы и её дифференциальное уравнение имеют вид:

Системы, у которых порядок числителя меньше порядка знаменателя, называют правильными.

Рассмотрим алгоритм перехода от скалярного дифференциального уравнения n- го порядка к системе n дифференциальных уравнений 1-го порядка в форме Коши.

Пусть одномерная (скалярная) система описывается дифференциальным уравнением вида

, где

Введем в рассмотрение переменные:

.

Последние зависимости можно переписать так

.

Тогда .

С учетом выражений введённых обозначений можно записать:

Последняя система в матричной форме запишется в виде:

Матрица имеет характерную форму: элементы над главной диагональю равны единице, а элементы нижней строки являются коэффициентами дифференциального уравнения, все остальные элементы являются нулями. Матрица , представленная в такой форме, называется матрицей Фробениусаили матрицей сопровождения.

Т.о., от скалярного уравнения n-го порядка путем замены переменных перешли к системе уравнений 1-го порядка в нормальной форме Коши, где

.

В системе – фазовые координаты, выходом этой системы является скалярный сигнал . На практике не все координаты состояния доступны измерению, а только их некоторая часть. В данном случае можно измерить лишь сигнал x(t) = x₁, или первую компоненту вектора состояния.

В общем случае коэффициенты правой части могут быть отличны от 0.

Модальные характеристики

Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы или, другими словами, отражают свойства автономной системы

(1.5)

Определим решение системы в виде экспоненты , (1.6)

где - скалярная экспонента, - вектор начальных условий.

Подставим решение (1.6) в исходное уравнение (1.5), после преобразования получим . (1.7).

Система уравнений (1.7) будет иметь ненулевое решение относительно, если

. (1.8)

Уравнение (1.8) - характеристическое уравнение системы имеет n корней ( ) , которые называются собственными значениями матрицы .

Т.о. для (1.5) существуют лишь экспоненциальные решения , которые называют модами.