Расчеты статически определимых стержней

Статически определимый стержень – это стержень, который можно рассчитать, используя только уравнения равновесия (уравнения статики).

В любой науке, которая называется «точной» и в которой используются аналитические методы описания состояний и явлений, не обойтись без моделей. В нашем случае при решении различных задач мы каждый раз будем выбирать для рассматриваемого объекта расчетную схему.

Расчетная схема – это упрощенная схема конструкции или ее элементов, освобожденная от несущественных в данной задаче особенностей. При этом расчетная схема должна отражать все наиболее существенное для характера работы данной конструкции и не содержать второстепенных факторов, мало влияющих на результаты ее расчета. Построение и обоснование расчетной схемы – ответственный этап проектирования и расчета конструкции.

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров.

Пример 5.

Чугунная труба-стойка высотой с наружным диаметром и внутренним диаметром нагружена сжимающей силой , модуль упругости чугуна . Найти напряжение в поперечном сечении колонны, абсолютное и относительное укорочения .

Решение.

Как уже говорилось выше, решение задачи начинается с выбора расчетной схемы. В данном случае стойка изображается как вертикальный стержень длиной , жестко закрепленный в нижней части (условное изображение фундамента или земли). К верхней части стержня приложена сосредоточенная сжимающая сила (направление к стержню). При этом линия действия силы должна совпадать с осью стержня. Кроме того, рядом необходимо изобразить поперечное сечение стойки с указанием основных размеров. В данном примере – это кольцо. Расчетная схема для решения задачи изображена на рис. 2.13, а.

Далее строим эпюру продольной силы и определяем максимальное внутреннее усилие, возникающее в колонне. Поскольку внешняя нагрузка постоянна по высоте, то возникает только одна сжимающая продольная сила .

Рис. 2.13.

Максимальное нормальное напряжение определяется по формуле:

где – площадь трубы:

.

тогда:

Абсолютное и относительное укорочения стойки определяем по формулам:

Знак "минус" обозначает уменьшение размера (укорочение).

Пример 6.

Стальной стержень круглого сечения растягивается усилием . Относительное удлинение не должно превышать , а напряжение – . Найти наименьший диаметр, удовлетворяющий этим условиям, если модуль упругости стали .

Решение.

Как и ранее, решение задачи начинается с изображения расчетной схемы и построения эпюра продольных сил (рис. 2.14).

Рис.2.14

По условию задачи напряжение не должно превышать , в связи с чем данная величина может быть принята за расчетное сопротивление материала стойки на растяжение, то есть . По аналогии заданное относительное удлинение можно принять за предельно допустимое для данной стойки, то есть . В результате необходимо подобрать диаметр стойки, удовлетворяющий условию прочности и условию жесткости.

Продольное растягивающее усилие равно по величине внешней нагрузке, действующей на стержень

Требуемая площадь поперечного сечения колонны из условия прочности будет определяться выражением:

Зная требуемую площадь, выразим необходимый из условия прочности диаметр:

Условие жесткости при центральном растяжении-сжатии:

Выражаем из предельного неравенства требуемую из условия жесткости площадь поперечного сечения:

Диаметр стойки из условия жесткости определим по формуле:

Окончательно принимаем из двух диаметров больший,

Пример 7.

Определить грузоподъемность и удлинение балки, если .

Расчетная схема бруса и эпюра продольных сил изображены на рис. 2.15.

Рис.2.15

Решение.

Грузоподъемность бруса – это максимальная нагрузка, которую он может выдержать, не разрушаясь. Таким образом, необходимо определить требуемую нагрузку из условия прочности:

Согласно эпюре , тогда условие прочности примет вид:

Отсюда грузоподъемность бруса будет равна:

Для определения удлинения стержня разбиваем его на участки. Каждый участок, должен иметь постоянную жесткость и величину продольной силы. Таким образом, для данного бруса получаем три участка (на рис. 2.15 они обозначены римскими цифрами), тогда абсолютная деформация в общем виде будет определяться выражением:

,

в котором каждое слагаемое определяется отдельно:

где - значения продольных сил соответственно на первом, втором и третьем участках; - длины соответственно первого, второго и третьего участков; - значения модулей упругости материалов бруса для каждого участка; - площади поперечных сечений стержня на первом, втором и третьем участках.

Поскольку жесткости всех трех участков одинаковые (балка изготовлена из одного материала и имеет постоянное по всей длине поперечное сечение), можно обозначить и вынести этот множитель за скобки. В результате получим выражение в виде:

где , , , , .

Пример 8.

Проверить прочность чугунного бруса (рис.2.16, а). Принять =150 МПа; =650 МПа, допускаемый коэффициент запаса прочности = 4.

Решение.

Строим эпюры продольных сил и нормальных напряжений (рис.2.16, б и в).

Рис.2.16

Напряжения на участках бруса

Так как материал бруса имеет различную прочность при растяжении и сжатии, проверку прочности следует выполнять для сжатого и растянутого участков, несмотря на то, что на участке напряжение значительно больше по абсолютному значению.

Коэффициенты запаса прочности

- прочность обеспечена;

- прочность обеспечена.

Из решения задачи можно сделать следующие выводы:

1) прочность стержня не обеспечена, так как на одном его участке коэффициент запаса прочности меньше требуемого;

2) на участках и коэффициент запаса прочности завышен, следовательно, эти участки бруса можно сделать меньшего диаметра. При проектировании элементов конструкций следует стремиться к тому, чтобы во всех сечениях коэффициент запаса прочности был равен или близок к требуемому.

Проверку прочности бруса можно было выполнить, используя условие прочности в виде , определив предварительно допускаемые напряжения по формулам

; .