Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения»

если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A».

Гёдель доказал следующее свойство любой системы аксиом:«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо».

*Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом.

*в контексте любой логической системы останутся утверждения «типа А», об истинности которых мы можем судить лишь вне рамок принятой нами аксиоматики.

*Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть.

вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте:

Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».

оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга.

Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером.

Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются.

Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность — исходя из повседневного опыта.

По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами.

Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения.

Интересно, догадывался ли Гильберт, как далеко заведут нас его вопросы?

19. Роль философии Канта и неокантианства в обосновании математики.

Согласно Канту, математика — точнее, один из ее разделов, составляющий своеобразное ядро этой науки, — обладает безусловной (аподиктической) достоверностью,

априорное знание независимо от опыта только в отношении своей формы, содержание его получено из опыта. Субъект, начиная познание, заранее обладает априорными формами познания, которые придают его знанию характер необходимости и всеобщности. Кант различал априорные формы чувственности (трансцендентальные формы чувственности, априорные формы созерцания) и априорные формы рассудка (трансцендентальные формы рассудка), которые придают связность и упорядоченность хаотическому многообразию чувственного опыта.

Априорные формы чувственности исследуются в трансцендентальной эстетике. Априорными формами чувственности являются чистые созерцания, с помощью которых многообразные, разрозненные и не всегда отчетливые восприятия приобретают всеобщую объективную значимость. Этих форм две — пространство и время. Именно они обуславливают возможность математики как науки.

Априорные формы рассудка, которые исследуются в трансцендентальной аналитике, представляют собой априорные чистые понятия рассудка (рассудочные понятия) — категории. Категории являются теми формами единства и рассудочными предпосылками, которые сам рассудок с необходимостью присоединяет к многообразному чувственному материалу, уже организованной априорными формами чувственности. Этот синтез обеспечивает возможность естествознания как науки. Кант насчитывает 12 категорий, разделённых на 4 класса: категории количества, категории качества, категории модальности и категории отношения.

Учение об априорности математики в философии И. Канта.

Кант отказался от воззрения Лейбница на аналитичность необходимых истин. Аналитичностью, с его точки зрения, обладает только логика, остальные же виды априорных истин являются синтетическими. Синтетичность математики обусловлена наличием в нашем сознании чистой чувственности, чувственного, но неэмпирического созерцания, которое позволяет сформулировать положения априорные (независимые от опыта) и одновременно синтетические, не сводимые к тавтологиям типа А = А.

Исходные положения геометрии опираются, согласно Канту, на чистое представление о пространстве, а истины арифметики — на чистое представление о времени.

Чистые представления пространства и времени определяют, по Канту, как состав исходных принципов (аксиом) математики, так и логику математического мышления. Любое математическое доказательство самоочевидно в том смысле, что каждый его шаг может совершаться только на основе очевидного синтеза.

Положение о конструктивном характере математических объектов.

Математика, по мнению Канта, содержит два типа объектов: объекты, непосредственно данные в чистом созерцании, и объекты, данные только своим правилом конструирования. Мы не можем созерцать тысячеугольник, говорит Кант, но мы имеем самоочевидную схему построения этой фигуры, и данное обстоятельство позволяет нам высказывать о ней истинные суждения, несмотря на отсутствие непосредственного зрительного образа этой фигуры.

---Признание неевклидовых геометрий в XIX в. существенно поколебало истинность кантовского априоризма. Эти геометрии показывали возможность существования математических теорий, не обладающих априорной и самоочевидной основой. Аксиоматика геометрии Лобачевского и других неевклидовых геометрий не является очевидной, она обладает лишь логической определенностью. Анализ математических понятий показывал также, что многие из них не обладают и конструктивностью в кантовском смысле. Это свидетельствовало о том, что априористское воззрение на математику ограниченно и не определяет ее истинного предмета и метода.

Неокантианство возникло в 60-х годах XIX века. главными представителями марбургской школы - одного из основных направлений неокантианства конца XIX - начала XX веков - были Г.Коген, П.Наторп и Э.Кассирер.

Философия для марбургжцев выступает прежде всего как ЛОГИКА.
"Логика, - говорит Наторп - охватывает не только теоретическую философию, как логика "возможности", но и этику, как логика формирования "воли", а также эстетику, как логика чистого художественного формирования".
Философия у марбуржцев является не только научной по своему методу, но она должна быть и может быть также и по своему предмету только философией НАУКИ, а именно логикой науки.
Образцом науки для марбуржцев является МАТЕМАТИКА и математизированное естествознание, преимущественно физика. Уже Кант утверждал, что "во всяком отдельном учении о природе собственно науки заключается лишь настолько, насколько содержится в ней математики".
Коген математику считает основой всех точных наук, а основой математики - число, вернее понятие числа.
У Канта любое научное знание состояло из двух разнородных частей: содержания, которое носило эмпирический характер и давалось посредством чувств, и формы, которая давалась рассудком в виде априорных категорий и основоположений.
Неокантианцы, по сути дела, отбрасывают чувственный элемент познания. С точки зрения их концепции, научное знание не содержит в себе ничего чувственного. Чувственное восприятие в лучшем случае может играть роль внешнего толчка, побуждения, стимула, но ничто чувственное не входит в состав научной теории. У неокантианцев процесс познания целиком сводится к логическому процессу.
Кант считал, что посредством чувств вещи нам даются, а посредством рассудка они мыслятся. Марбуржцы не считают возможным говорить о чем-либо данном сознанию, как это делал Кант.
Для марбуржцев предмет познания - не "вещь", а задача познания, решение которой возможно только как уходящий в бесконечность ряд приближений.
В более узком смысле процесс познания отождествляется с процессом логического конструирования объектов науки. В более широком смысле метод состоит в "никогда не завершающемся творчестве культурной жизни человека".
В область науки, полагают марбуржцы, не проникает ничего из чувственного мира. Наука есть от начала до конца порождение мышления. Все научные понятия представляют собой творения духа.
У марбуржцев критика "данности" по сути превращается в критику также и объективной истины. Понятие истины релятивизируется, окончательно теряет черты отражения объективной действительности. Истина целиком растворяется в процессе ИСКАНИЙ того, что принципиально будто бы никогда не может быть найдено. Как утверждает Коген, "истина состоит единственно в искании истины".

Неокантианцы считают целесообразным обратиться к тому обоснованию математики, которое в свое время было дано Лейбницем.

Интуитивное познание, согласно Лейбницу, создает основы математики,

символическое же заботится о том, чтобы, исходя из этих основ, провести непрерывную цепь доказательств к следствиям. На этом пути мышление не нуждается в постоянном обращении к идеальному положению вещей: на место операций с «идеями» ставятся операции со знаками. Но в конце концов в определенном пункте встает вопрос о «смысле» знака: нужна содержательная интерпретация того, что выражено в знаке.

Не всякой комбинации знаков соответствует логически определенное математическое образование: если той или иной знаковой комбинации не соответствует определенное мыслительное действие («мыслительный шаг», как выражается Кассирер), то такая комбинация не должна претендовать на то, что ей соответствует некоторый математический предмет.

В этом вопросе (обоснования М) неокантианцы отходят от принципов Канта и становятся на позиции Лейбница. В отличие от

Канта: М имеет обязательным условием созерцание,

Лейбниц: М и логическое мышление оказываются на одной стороне, а чувственность (созерцание) выступает в роли системы знаков. Хотя без знаков М не может обойтись, но свое содержание она получает не из чувственности, а из чистого мышления. Неокантианцы потому и подвергли критике кантовское учение об априорных условиях чувственности, что они вслед за Лейбницем не считают возможным допустить, что М черпает из чувственности (пусть даже из априорных ее форм) свое содержание.

Чувственность — знак — есть лишь средство выражения интеллектуального содержания, а не условие его получения.

20. Понятие символических форм. Математика как система символов.

Символич форма – некий объект, котор способен сочетать в себе хар-ки как единичного, так и всеобщего.

Мат объект исполнен в чувств созерцании (единичное) и в мышлении, как нечто всеобщее.

Мат объекты сущ не просто сами по себе, а заданы некот правилом построения рядов.

Неокантианцы считают целесообразным обратиться к тому обоснованию математики, которое в свое время было дано Лейбницем.

Интуитивное познание, согласно Лейбницу, создает основы математики,

символическое же заботится о том, чтобы, исходя из этих основ, провести непрерывную цепь доказательств к следствиям. На этом пути мышление не нуждается в постоянном обращении к идеальному положению вещей: на место операций с «идеями» ставятся операции со знаками. Но в конце концов в определенном пункте встает вопрос о «смысле» знака: нужна содержательная интерпретация того, что выражено в знаке.

Не всякой комбинации знаков соответствует логически определенное математическое образование: если той или иной знаковой комбинации не соответствует определенное мыслительное действие («мыслительный шаг», как выражается Кассирер), то такая комбинация не должна претендовать на то, что ей соответствует некоторый математический предмет.

В этом вопросе (обоснования М) неокантианцы отходят от принципов Канта и становятся на позиции Лейбница. В отличие от

Канта: М имеет обязательным условием созерцание,

Лейбниц: М и логическое мышление оказываются на одной стороне, а чувственность (созерцание) выступает в роли системы знаков. Хотя без знаков М не может обойтись, но свое содержание она получает не из чувственности, а из чистого мышления. Неокантианцы потому и подвергли критике кантовское учение об априорных условиях чувственности, что они вслед за Лейбницем не считают возможным допустить, что М черпает из чувственности (пусть даже из априорных ее форм) свое содержание.

Чувственность — знак — есть лишь средство выражения интеллектуального содержания, а не условие его получения.

21. Проблема существования и реальной осуществимости в математике.

Эта проблема возникает из осознания невозможности сведения абстрактных математических объектов к единичным чувственно воспринимаемымвещам. Если математические объекты существуют не так, как единичные вещи, то о каком их существовании может идти речь?

В каком смысле, например, существуют , n-мерные и бесконечномерные пространства и т. д.

Еще древние пифагорейцы: Числа, где они? Отделенные пространством, обитают ли они сами по себе в небе идей? Они не суть непосредственно сами вещи, так как вещь, субстанция есть ведь нечто другое, чем число, - тело не имеет никакого сходства с последним".

Представление о самостоятельном существовании математических объектов приводит к ряду трудностей как гносеологического, так и логико-математического характера. Математик как бы оказывается между двумя реальностями - чувственно воспринимаемых вещей и математических объектов. Причем как математик он имеет дело лишь со "второй реальностью", а с чувственно воспринимаемой действительностью соприкасается лишь постольку, поскольку выступает уже просто как человек, который должен пить, есть, отдыхать и т. д.

Г.Герц: "Невозможно избавиться от ощущения, что эти мат формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было"

Колмогоров в "Современные споры о природе М и Г.Вейль: именно такая привычка обращаться с мат объектами является источником серьезных затруднений в обосновании и построении мат теорий. Совсем не случайно поэтому появление интуиционистской точки зрения на проблему существования.

Интуиционизм возник как реакция на теоретико-множественную (классическую) концепцию математики. Ин-изм отказывает математическим объектам в каком бы то ни было независимом от мышления существовании и считает, что об их существовании можно утвердительно говорить лишь в том случае, когда они могут быть тем или иным способом построены.

Инт-изм избрал главным объектом критики в классической математике понятие актуальной бесконечности и закон исключенного третьего. Отвергая понятие актуальной бесконечности, инт-изм заменяет понятием потенциальной бесконечности.

Что же касается закона исключенного третьего, согласно которому утверждение А и его отрицание не могут быть одновременно истинными и ложными, то инт-изм считает, что утверждение А? может считаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить, какое именно из двух суждений А или истинно.

На основе критики классической математики и в то же время как реакция на субъективистскую концепцию интуиционизма возникло также конструктивное направление. Об абстрактных объектах в конструктивной математике рассуждают на основе абстракции потенциальной осуществимости. В соответствии с этой абстракцией в конструктивной математике изучаются не только объекты, уже имеющиеся в наличии, но и возможные (потенциально осуществляемые) объекты. Абстракция актуальной бесконечности как объект математической теории отклоняется в конструктивном направлении.

В конструктивной математике отрицают так называемые «чистые» теоремы существования. Например, в конструктивной теории множеств нет теоремы существования неизмеримого по Лебегу множества. В ней существование бесконечного множества с данными свойствами является однозначным в том случае, если дан способ потенциально осуществимого построения объекта с этими свойствами.

В становлении и развитии конструктивного направления в математике важную роль сыграли работы А. А. Маркова, Н. А. Шанина, П. С. Новикова. Известный советский ученый Н. А. Шанин в работе «О критике классической математики» [20; 284-298] дает конструктивистскую критику классической математики и акцентирует внимание исследователей на том, что многие теоремы классической математики не обладают удовлетворительной связью между ними и эмпирическим материалом в области естествознания.

Предшественником интуиционистской концепции существования в некотором смысле можно считать А.Пуанкаре. Рассматривая вопрос о существовании натурального ряда чисел, А.Пуанкаре высказывал взгляды, близкие к интуиционистским. Например, он считал, что о существовании чисел можно судить лишь с помощью их построения. Но для математических объектов, отличных от натуральных чисел, А.Пуанкаре считал доказательство непротиворечивости доказательством их существования. "В математике существовать может иметь только один смысл, - оно означает устранение от противоречия" [18; 124].

Субъективный идеалист Дж.Беркли, "существовать - значит быть воспринимаемы",

*рьяно выступал против представления о самостоятельном существовании математических объектов.

*отрицал существование бесконечно малых величин на том основании, что они чувственно не воспринимаемы. [1; 395]

Б.Рассел начал свою философскую деятельность с идеализма типа Дж.Беркли, но затем изменил свою концепцию под влиянием Д.Мура, который подверг критике философию Дж.Беркли и сформулировал принцип нетождественности объекта восприятию.

«Принципы математики» Б.Рассел

переходит на позиции реализма и высказывает мысль, что нельзя обосновать математику, не признавая математические объекты, существующими независимо от сознания. [16; 87]

Абстрактные объектыне существуют в качестве самостоятельного объекта, стоящего между субъектом и реальным объектом, ибо они являются лишь формами выражения действительности. Сама же действительность выступает не как совокупность единичных фактов, созерцая которые, субъект выделяет то общее, что есть в них, а как сложная, расчлененная внутри себя целостность. Неверно превращать математические средства выражения предмета математики в сам предмет. Абстрактные объекты являются не объектами познания, а тем, что должно быть в голове человека, чтобы можно было в реальной действительности увидеть те или иные аспекты количественных отношений.

Представления, что математика имеет дело с реальной действительностью только через посредство абстрактных объектов, которые понимаются как существующие лишь во внутреннем мире субъекта, замыкают математика в рамки уже идеализированных фрагментов действительности и не могут объяснить факта увеличения математического знания. Математическое познание имеет дело не с абстрактными объектами, а с пространственными формами и количественными отношениями действительности. Манипулирование абстрактными объектами в отрыве от объективной реальности не может привести к новым результатам. Абстрактные объекты сами по себе – застывший продукт познания и только обращение к новым аспектам действительности приводит к обогащению математического знания.

Р.Декарт. В «Правилах для руководства ума» он писал, что «мысля о числе, не нужно делать вывод, будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего представления, как это делают те, кто приписывает числам чудесные свойства…». [7; 149]

В этом случае мы сможем по мере надобности обращаться и к другим свойствам предмета, которые еще не выражены в числах. Тот, кто превращает математические средства выражения предмета математики в сам предмет, превращается , по словам Р.Декарта, из математика в счетчика, бессмысленно оперирующего со знаками и символами, загораживающими непроницаемой реальный предмет математики.

А.Гейтинг замечает, что «мы не могли бы сравнивать натуральные числа друг с другом, если бы не фиксировали их какими-либо средствами материального представления, почему они и продолжают существовать после акта их построения» [6; 24].

Абстрактные объекты и есть формы, отлитые предшествующей деятельностью человека в обществе. С точки же зрения каждого отдельного индивида они выступают как независимо от него существующая реальность, а это значит, что человек должен считаться с их природой как и с природой реально существующих вещей. Только в этом смысле и можно говорить об особом существовании абстрактных объектов.