Г) Увеличение содержания путем дедуктивного угадывания

Учитель. Достаточно предварительных замечаний. Посмотрим ваш вывод.

Дзета. Хорошо, сэр. Я беру два закрытых нормальных многогранника (рис. 20, а) и склеиваю их вместе по многоугольному обводу так, чтобы исчезли две склеивающиеся грани (рис. 20, б). Так как для двух многогранников , то исчезновение двух граней в соединенном многограннике восстановит формулу Эйлера – ничего удивительного после доказательства Коши, так как новый многогранник может быть легко раздут в шар. Таким образом, формула хорошо выдерживает это испытание приклеиванием. Но попробуем теперь испытать двойное приклеивание: склеим вместе два многогранника по двум многоугольным обводам (рис. 20, в). Теперь исчезнут 4 грани и для нового многогранника .

Рис. 20

Гамма. Это контрапример 4 Альфы, картинная рама!

Дзета. Теперь если при помощи «двойного приклеивания» я прикреплю к этой картинной раме (рис. 20, в) еще один нормальный многогранник (рис. 21, а), то будет –2 (рис. 21, б).

Сигма. Для моносфероидального многогранника , для дисфероидального , для трисфероидального , для n‑сфероидального ( )…

Дзета. … что представляет вашу новую догадку с содержанием, бывшим еще неизвестным, полную и с доказательством и без составления какой-нибудь таблицы[133].

Рис. 21

Сигма. Это действительно прекрасно. Вы не только объяснили упорную картинную раму, но вы создали еще бесконечное множество новых контрапримеров…

Дзета. С полным объяснением.

Ро. Я как раз пришел к тому же результату другим путем. Дзета начал с двух эйлеровых примеров и превратил их в контрапример, контролируя экспериментом. Я начинаю с контрапримера и превращаю его в пример. Я сделал следующий умственный эксперимент с картинной рамой: «Пусть многогранник будет из какого-нибудь материала, который легко режется как, мягкая глина; пропустим нитку через туннель, а затем через глину. Многогранник не распадется[134]… Но он сделается знакомым, простым сфероидальным многогранником! Это верно, мы увеличим число граней на 2, а числа и ребер и вершин на m; но так как мы знаем, что эйлерова характеристика простого многогранника равна 2, то первоначальный должен был иметь характеристику 0. Теперь, если для того чтобы; сделать многогранник простым, необходимо большее число, скажем n, таких разрезов, то его характеристика будет .

Сигма. Это интересно. Дзета уже показал нам, что мы можем не нуждаться в догадке для начала доказательства, что мы можем непосредственно произвести синтез, т.е. доказательный умственный эксперимент над близким предложением, которое, как мы знаем, является верным. Теперь Ро показывает, что мы можем обойтись без догадки даже для начала испытания, но, предполагая, что результат уже имеется, мы можем заняться придумыванием анализа, т.е. проверочного мысленного эксперимента[135].

Рис. 22

Омега. Однако какой бы путь вы ни выбрали, все еще остаются кучи необъясненных многогранников. По вашей новой теореме для всех многогранников будет четным числом, меньшим 2. Но мы видели также несколько многогранников с нечетными эйлеровыми характеристиками. Возьмите увенчанный куб (рис. 12) с …

Дзета. Я никогда не говорил, что моя теорема приложима ко всем многогранникам. Она применима только ко всем n‑сфероидальным многогранникам, построенным согласно моей конструкции. В настоящем ее состоянии она не приводит к кольцеобразным граням.

Омега. Да?

Сигма. Я знаю! Ее можно распространить и на многогранники с кольцеобразными гранями: можно построить кольцеобразный многоугольник, уничтожив ребро в рожденной доказательством подходящей системе миогоугольников, не изменяя числа граней (рис. 22, a и 22, b). Я думаю не существуют ли также «нормальные» системы многоугольников, построенные в согласии с нашим доказательством, в которых можно уничтожить даже более одного ребра не уменьшая числа граней…

Гамма. Это правда. Посмотрите на такую «нормальную» систему многоугольников (рис. 23, a). Вы можете уничтожить два ребра, не уменьшая числа граней (рис. 23, b).

Рис. 23

Сигма. Хорошо! Тогда вообще

для n‑сфероидальных, или n‑связных, многогранников с l_k ребрами, которые можно уничтожить без уменьшения числа граней.

Бета. Эта формула объясняет мой увенчанный куб (рис. 12), моносфероидальный многогранник (с ) с одной кольцеобразной гранью: все l_k равны нулю, кроме l₁, которое будет1, или , следовательно .

Сигма. Она также объясняет ваш «иррациональный» эйлеров каприз: куб с двумя кольцеобразными гранями и туннелем (рис. 16). Это дисфероидальный многогранник ( ) с . Следовательно, его характеристика будет . В мире многогранников восстановлен моральный порядок[136].

Омега. А как для многогранников с полостями?

Сигма. Я знаю! Для них нужно сложить эйлеровы характеристики каждой отдельной несвязанной поверхности.

[137]

Бета. А тетраэдры-близнецы? Сигма. Я знаю!..

Гамма. Какой смысл всей этой точности? Остановите этот поток претенциозных тривиальностей![138]

Альфа. А почему должен он прекратиться? Разве тетраэдры-близнецы – монстры, а не настоящие многогранники? Тетраэдр-близнец такой же хороший многогранник, как и ваш цилиндр! Но вам нравилась лингвистическая точность[139]. Почему же вы осмеиваете нашу новую точность? Мы должны добиться, чтобы теорема охватила все многогранники; делая ее точной, мы увеличиваем, а не уменьшаем ее содержание. В этом случае точность будет добродетелью!

Каппа. Скучные добродетели так же плохи, как и скучные пороки! Кроме того, вы никогда не достигнете полной точности. Мы должны остановиться там, где нам перестанет быть интересным идти дальше.

Альфа. Моя точка зрения иная. Мы начали с положения

(1): одна вершина есть одна вершина. Отсюда мы вывели

(2): для всех совершенных многоугольников. Отсюда мы вывели

(3): для всех нормальных открытых систем многоугольников. Отсюда

(4): для всех нормальных закрытых систем многоугольников, т.е. для многогранников. Отсюда, по очереди, снова

(5): для нормальных n‑сфероидальных многогранников.

(6):
для нормальных n‑сфероидальных многогранников с многосвязными гранями,
(7):
для нормальных n‑сфероидальных многогранников с многосвязными гранями и полостями.

Разве это не чудесное раскрытие скрытых богатств, содержавшихся в тривиальной исходной точке? И так как (1) несомненно истинно, то также будет и остальное.

Ро (в сторону). Скрытые «богатства»? Два последних пункта показывают только, как дешево можно получить обобщения[140].

Ламбда. Вы серьезно думаете, что (1) является единственной аксиомой, из которой вытекает все остальное? Что дедукция увеличивает содержание?

Альфа. Конечно! Разве это не чудо дедуктивного мысленного эксперимента? Если вы уж схватили маленькую истину, то дедукция неизбежно развернет ее в дерево познания[141]. Если дедукция не увеличивает содержания, то я назвал бы ее не дедукцией, но «проверкой»; проверка отличается от истинного доказательства как раз тем, что она бывает чисто аналитической и также бесплодной[142].

Ламбда. Но, конечно, дедукция не может увеличить содержания. Если критика устанавливает, что заключение богаче предпосылок, то нам нужно усилить предпосылки, выявив скрытые леммы.

Каппа. А эти скрытые леммы содержат софистичность и погрешимость и в конце концов уничтожаютмифо непогрешимой дедукции[143].

Учитель. Есть еще вопросы относительно метода Дзеты?