Дәріс №2. Ықтималдықтар теориясының элементтері
Дәріс №1 Кіріспе
Өлшемдер ғылым мен білімнің барлық салаларында аса маңызды орын алады.
Өлшемдер жер бетінің картографиялық геодезиялық бағытта зреттеу үшін жүргізілетін барлық жұмыстардың негізгі мазмұнын құрайды. Жерді зерттеуге байланысты өлшем әдістері мен құрылғылары географияда, астрономияда, геометрияда, фотограмметрияда және т.б. өңделеді.
Кез келген шаманы өлшемді екі тұрғыдан қарастырады: сандық – өлшемді бірліктің сандық мәнін көрсетеді және сапалық – өлшем дәлдігін сипаттайды. Ғылым мен техниканың әсіресе геодезияның дамуымен өңдеу тәсілдерін жетілдіруде.
Өлшемде мүлт кету мен қателіктер, яғни дөрекі қателіктер болмауы керек. Геодезияда оларды табу үшін және болдырмау үшін қайталап өлшеу және матаппаратты қолданады. Мысалы, үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысының 1800 болатындығы және тұйықталған теодалит жүрісі кезіндегі өсімшелердің қосындысы т.б.
Тіпті, дөрекі қателіктер болмаған күннің өзінде де қайталана жүргізілген өлшемдердің арасында айырмашылықтар болады, яғни шарасыз қателіктер болады. Бұл қателіктерді өлшейтін құрылғылардың барлық дәлдік дәрежелері. Субъектінің факторлары сыртқы жағдайлар болып табылады.
Өлшем жұмысы да асы жоғары дәлдік те, жеткіліксіз дәлдік сияқты көп жағымды бола бермейді.
Сондықтан да мақсатқа лайықты яғни қажетті немесе жеткілікті өлшем алу мен оларды нәтижелерін өңдеу жолдарын алу жұмысы туындайды.
Геодезиялық өлшемдердің сапасын зерттеу,шарасыз қателіктердің пайда болуы мен әрекеттерін, өлшемнің қажетті дәлдігін бағалау ережелері мен есептеулерін,сондай-ақ есептеулердің әдістері мен тәсілдерін оқумен геодезиялық өлшемдерді математикалық өңдеу теориясы айналысады.
Жоғарыда аталған тапсырмаларды шешу үшін және оны тәжірибеде қолдана алу үшін математиканың мына шамаларын оқып үйрену керек:
1.Ықтималдықтар теориясының элементтері
2.Математикалық статистика элементтері
3.Өлшемдер қателіктері теорисының негіздері
4.Ең кіші квадраттар әдісі.
Дәріс №2. Ықтималдықтар теориясының элементтері
Ықтималдықтар теориясы -массалық, кездейсоқ оқиғаның сандық заңдылықтарды оқытатын математикалық пән.
Ықтималдықтар теориясы өз бастауын XVII ғасырдан алады. Алдымен азартты ойындар пайда болды. Араб тілінде «азар» деген сөз «қиын» деген мағына береді. Арабтар «азар» деп лақтырылған ойын сүйегінің екеуінде де 6 ұпайдан түсүін айтады екен. Куб түріндегі ойын құралы ол кезде піл сүйегінен жасалатын болғандықтан «ойын сүйегі» деген атау сол заманнан қалыптасып қалған. Ықтималдықтар теориясы жөніндегі алғашқы жұмыстар XVII ғасырда басталды. Еуропа елдерінде адамды құнықтыратын әр түрлі ойындардың кең таралуына байланысты әр ойыншы өзінің жеңілмеу ықтималдықдығын алдын ала анықтауға тырысты. Сол кездегі математиктер де бұл мәселеге назар аудардып,бірнеше рет қайталанатын кездейсоқ оқиғалар туралы заңдылықтар ашуға талпынды. Бұл мәселеге алғашқы болып еңбектерін ұсынған: француз оқымыстысы Блез Паскаль, Пьер Ферма, голландиялық Христиан Гюйгенс, швецариялық математик Яков Бернулли болды. Француздың атақты математиктері Пьер Ферма мен Блез Паскальдың азартты ойындар жөніндегі зерттеулері ықтималдықтар теориясының негізін қалады. Кейіннен сақтандыру жұмыстарында және демография саласында ықтималдықтар теориясы өз қолданысын тапты. Жаратылыстану ғылымдары мен техниканың дамуы ықтималдықтар теориясына жаңа мәселелер қойды. Ықтималдықтар теориясының дамуын Бернулли, Муавр, ГауссЛаплас, Пуассон еңбектері көп әсер етті. XIX ғасырдың екінші жартысыннан бастап бұл саланың дамуына зор әсер еткен В.Я.Буняковский бастаған математиктер мектебі: П.Л.Чебышев, А.А.Марков, С.Н. Бернштейн, А.Н. Колмогоров секілді орыс ғалымдары үлкен үлес қосты. XVIII ғасыр аяғы мен XIX ғасыр басында ағылшын оқымыстысы А.Муавр, Л.Эйлер, Н.Бернулли, француз П.Лаплас, С.Пуассон, неміс К.Гаусс геодезия мен астраномияның өркендеуіне қатысты өлшеу қателіктерін бағалау,ату теориясындағы снарядтардың жағдайларын анықтау үшін ықтималдықтар теориясының рөлін көрсету мақсатында ғылыми жұмыстар жүргізді.XIX ғасыр ортасында Ф. Гальтон, Л.Больцман, А.Кетле, А.М.Ляпунов, П.Л.Чебышев, А.К.Калмогоров сияқты ғалымдар жиындар теориясы,шақты айнымалылы функциялар теориясы,функционалдық анализ сияқты жоғары математикалық жаңа табыстарына сүйенетін ықтималдықтар теориясының өркендеуіне негіз салды. Ықтималдықтар теориясының дамуына байланысты оның адамзат өмірінде қолдану мүмкіндігі артты.Жалпы алғанда ықтималдықтар теориясының әдісі ғылымның барлық саласына өз үлесін қосады.
Негізі тәжірибеге дейін бізге қолайлы оқиғаның орындалатынын, не болмаса орындалмайтынын анықтау мүмкін емес, оны тек тәжірибе соңында ғана көреміз. Біз ықтималдықтар теориясында кездейсоқ тәжірибеге қатысты барлық оқиғаларды кездейсоқ оқиғалар дейміз және кездейсоқ оқиға болып мына оқиғалар саналады:
1. жалған — ешқашан орындалуы мүмкін емес оқиға,
2. айқын — әрбір тәжірибе барысында орындалатын оқиға.
Мысал 2: Жұмыртқаны пісіргенде пайда болатын оқиғаларды қарастырайық:
А= жұмыртқаның пісуі ;
В= жұмыртқаның піспеуі ;
С= піскен жұмырқадан балапанның шығуы
А, В оқиғалары – кездейсоқ оқиғалар, яғни айқын оқиғалар, С оқиғасы – жалған оқиға.
Шынайы өмірдің әр түрлі құбылыстарын зерттеу үшін мыналар жүргізіледі:
1.Бақылаулар
2.Тәжірибелер
3.Өлшемдер
Бақылау– барлық ғылыми зерттеулердің негізі,бақылау кезінде бақыланатын объектінің сипаттамасы сандық және сапалық болуы мүмкін.Сандық сипаттарын дискреттік санақ жолымен немесе өлшеу арқылы анықтайды. Ықтималдықтар теориясы тек кездейсоқ оқиғаларды ғана емес, кездейсоқ шамаларды да оқытады.
Кездейсоқ шамадегеніміз алдын ала болжау мүмкін емес, кездейсоқ себептерге тәуелді тәжірибеге алдын ала ие болатын белгісіз шама.
Өлшеу– анықталатын шама,сонымен тектес шамамен сандық тұрғыда салыстырып айтады.Өлшеу нәтижесі сол өлшенген шаманыі өзіне салыстырмалы шамадан неше есе үлкен немесе кіші екендігін сипаттайтын санды алады.
Ықтималдықтар теориясы кейбір қасиеттерге тұрақтылықтың, кездейсоқ шамаларының заңдылықтарын оқытады.