Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Свойства модуля комплексных чисел.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Если точка z комплексной плоскости имеет декартовые координаты (х, у), т.е. и полярные
, то они связаны соотношением (1):
.
По определению, и из (1) получаем:
. (9)
Подставляя в алгебраическую форму записи числа z получаем: . Или
(10)
Определение. Запись комплексного числа в виде (3) называется еготригонометрической формой.
Замечание. Поскольку одну букву писать экономнее нежели несколько, то чаще всего тригонометрическую форму комплексного числа пишут в виде:
, (11)
где .
Теорема. (О равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме.)
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули и аргументы.
Доказательство. Так как между всеми комплексными числами и всемиточками комплексной плоскости существует взаимно однозначное соответствие, то равные комплексные числа отождествляются на комплексной плоскости с одной и той же точкой, следовательно, имеют одни и те же полярные координаты, т.е. полярный радиус, который по определению равен модулю комплексного числа, и полярный угол, который по определению равен аргументу комплексного числа. Обратно, если комплексные числа имеют равные модули и аргументы, то они изображаются на комплексной плоскости одной точкой и, следовательно, равны.
Теорема доказана.
Используя соотношения, которые связывают полярные и декартовые координаты точки плоскости, можно найти модуль и аргумент комплексного числа зная его действительную и мнимую части.
Пусть , т.е.
,
. Тогда
, (12)
, если точка z лежит в первой или четвертой четверти или
, если точка z лежит во второй или третьей четверти. Также можно пользоваться формулами (6) – (8) п.1, где
.
Пример. Найти тригонометрическую форму записи комплексного числа z, если:
а) ; б)
; в)
; г)
; д)
.
Решение. а) ,
.
,
.
Ответ: .
б) ,
,
,
.
Ответ: .
в) ,
,
,
.
Ответ: .
г) ,
,
,
.
Ответ: .
д) ,
,
,
.
Ответ: , где
.
Замечание. В некоторых случаях удобнее не пользоваться формулами, а изображать на чертеже соответствующую точку на комплексной плоскости и находить модуль и аргумент комплексного числа пользуясь чертежом. Например, найдем тригонометрическую форму комплексного числа .
Число соответствует на комплексной плоскости точке
. Отметим ее на координатной плоскости:
рис.5.
Из рис.5 мы сразу же видим, что и
. Отсюда,
.
Найдем, далее тригонометрическую форму числа комплексно сопряженного числу , т.е.
.
Из рис.5 мы видим, что ,
и
или
.
Замечание. Несмотря на то, что , а
, форма записи комплексного числа z с аргументом
в виде
не является тригонометрической, т.к.
. В этом случае правильной записью тригонометрической формы комплексного числа будет:
или
.
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Свойства модуля комплексных чисел.
Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.)
Пусть , где
и
, где
– два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда
. (13)
Доказательство.
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Отсюда вытекает правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи.
Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи нужно перемножить их модули, а аргументы сложить.
Следствие 1. Пусть k натуральное число и . Пусть далее
, где
– произвольные n комплексных чисел записанных в тригонометрической форме записи. Тогда
.
Доказательство проводится индукцией по числу сомножителей и предоставляется читателю.
Следствие 2. Пусть n натуральное число и – произвольное комплексное число в тригонометрической форме записи. Тогда
.
Доказательство сразу же следует из Следствия 1.
Теорема. (Свойства модуля комплексного числа.)
Пусть – произвольные комплексные числа и соответствующие точки на комплексной плоскости. Тогда:
1) и
. Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей и модули противоположных чисел равны;
2) расстояние между точками и
комплексной плоскости равно модулю разности соответствующих комплексных чисел:
;
3) ;
4) ;
Доказательство. 1) По предыдущей теореме имеем:
, где
и
,
т.е. .
Таким образом, равенства и
есть тригонометрическая форма записи числа
, следовательно, по теореме о равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме записи, имеем
, ч.т.д.
Далее, т.к. , то по только что доказанному свойству
, ч.т.д.
Заметим, что последнее равенство можно получить и из других соображений.
Противоположные числа на комплексной плоскости изображаютсяточками симметричными относительно начала координат. Действительно, пусть . Тогда
и точки
,
имеют противоположные декартовые координаты. Значит, в силу симметрии, расстояния от этих точек до начала координат равны, т.е.
, ч.т.д. Заметим, также, что такой же результат можно получить с помощью формулы (12) вычисления модуля комплексного числа.
2). Пусть ,
. Тогда
и по формуле (12) имеем:
. (14)
С другой стороны, рассмотрим числа и
как точки на комплексной плоскости. Тогда точка
имеет декартовые координаты
, а
и искомое расстояние между ними вычисляется по формуле (14), ч.т.д.
3) Рассмотрим на комплексной плоскости точки ,
и начало координат О. В общем случае эти три точки являются вершинами треугольника
:
рис.6.
Воспользуемся известным свойством треугольника: длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух его других сторон.
Мы только что доказали, что длина стороны этого треугольника равна
, а длины сторон
и
равны по определению модулям чисел
и
:
,
. Отсюда и получаем, что
.
Заменим в последнем неравенстве число на противоположное число
, тогда получаем:
, ч.т.д.
Заметим, что равенство в этих неравенствах достигается тогда и только тогда, когда треугольник вырождается в отрезок прямой, т.е. когда все три точки О, и
лежат на одной прямой.
4) , откуда следует
. Поменяв местами
и
, получаем
, откуда и следует доказываемое неравенство.
Теорема доказана.
Теория комплексных чисел имеет много приложений в различных областях математики. Не могу удержаться от искушения привести хотя бы один такой пример, относящийся к области теории чисел.
Определение. Говорят, что натуральное число n представимо в виде суммы двух квадратов, если существуют такие целые числа х и у, что выполняется равенство:
.
Теорема. Если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то их произведение также представимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство. Пусть и
, где
.
Нам нужно доказать, что найдутся два целых числа а и b такие, что .
С этой целью рассмотрим два комплексных числа и
.
Тогда и по формуле (12) имеем:
.
С другой стороны, ,
. Так как
, то
или
, то отсюда получаем равенство:
, где
, ч.т.д.
Теорема доказана.