Означення 2. Матриці і називаються переставними або комутативними, якщо

Приклад 4.

Легко перевірити, що довільна квадратна і одинична матриці комутативні, і при цьому .

Приклад 5. Перевірити останню рівність, якщо

Можна показати, що множення матриць має такі властивості:

де – число;

.

Тут мається на увазі, що всі записані добутки матриць існують.

Приклад 6. Перевірити властивості 1-4, якщо число , а матриці такі:

, , С= .

Розглянемо поняття степеня квадратної матриці.

Означення 3. Квадратом матриці (позначається ) називається добуток , тобто .

Аналогічно вводиться .

Приклад 7. Для матриць і , де

, ,

довести, що , та знайти значення виразів.

Означення 4.Якщо - заданий многочлен і деяка квадратна матриця, то вираз

де - одинична матриця, називається многочленною матрицею.

Приклад 8. Для матриці

Знайти

Обчислити степені квадратних матриць:

9. . 10 . 11. .

12. . 13. . 14. .

Перемножити прямокутні матриці:

15. . 16. .

17. .

Знайти , якщо задана матриця і функція