Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы)

Если в модели системы не учитывается воздействие случайных факторов, а операторы переходов и выходов непрерывны (это означает, что малые изменения входных воздействий приводят к такого же порядка малым изменениям выходного воздействия и состояния системы), то состояния системы и выхода соответственно могут быть представлены в виде дифференциальных уравнений:

Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru (3.6)

Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru (3.7)

где h, g – вектор-функции состояний и выходов соответственно; х, z, у – векторы входных воздействий, состояний и выходных воздействий соответственно.

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной переменной или нескольких переменных, причём в уравнение входят не только их функции, но их производные различных порядков. Если неизвестные – функции многих переменных, то уравнения называются – уравнения в частных производных. Если неизвестные функции одной независимой переменной, то имеют место обыкновенные дифференциальные уравнения.

Математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде:

Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru .

В случае линейности таких систем, когда операторы переходов и выходов обладают свойствами однородности и аддитивности, вид уравнений (3.6) и (3.7) упрощается, что дает возможность аналитического решения или исследования известными методами с помощью вычислительных машин.

Построение математических моделей непрерывных линейных детерминированных систем в виде дифференциальных уравнений используется при анализе функционирования элементов и электрических цепей приборных систем.

3.3. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

Дискретно-детерминированные модели (ДДМ) являются предметом рассмотрения теории автоматов (ТА) – раздела теоретической кибернетики, изучающей устройства, перерабатывающие дискретную информацию и меняющие свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени.

Конечный автомат (КА) имеет множество внутренних состояний и входных сигналов, являющихся конечными множествами. Автомат задаётся F-схемой:

F = <z, x, y, j, y, z0>, (3.8)

где z, x, y – соответственно конечные множества входных, выходных сигналов (алфавитов) и конечное множество внутренних состояний (алфавита). z0 Î Z – начальное состояние; j(z, x) – функция переходов; y(z, x) – функция выхода. Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т.е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного, выходного сигнала и внутреннего состояния. Абстрактный автомат имеет один входной и один выходной каналы.

В момент t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять сигнал x(t) и выдать сигнал y(t) = y[z(t), x(t)], переходя в состояние z(t + 1) = j[z(t), z(t)], z(t) Î Z; y(t) Î Y; x(t) Î X. Абстрактный КА в начальном состоянии z0, принимая сигналы x(0), x(1), x(2), … (входное слово), выдаёт сигналы y(0), y(1), y(2), … (выходное слово).

Существуют:

1) F-автомат 1-ого рода (автомат Миля), функционирующий по схеме:

z(t + 1) = j[z(t), z(t)], t = 0, 1, 2, … (3.9)

y(t) = y[z(t), x(t)], t = 0, 1, 2, …; (3.10)

2) F-автомат 2-ого рода:

z(t + 1) = j[z(t), z(t)], t = 0, 1, 2, … (3.11)

y(t) = y[z(t), x(t – 1)], t = 1, 2, 3, …; (3.12)

3) F-автомат 2-ого рода, для которого функция выходов не зависит от входной переменной x(t) (автомат Мура):

z(t + 1) = j[z(t), z(t)], t = 0, 1, 2, … (3.13)

y(t) = y[z(t)], t = 0, 1, 2, …; (3.14)

Таким образом, уравнения (3.9-3.14), полностью задающие F-автомат, являются частным случаем уравнения:

Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru , (3.15)

где Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru – вектор состояний, Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru – вектор независимых входных переменных, Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru – вектор воздействий внешней среды, Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru – вектор собственных внутренних параметров системы, Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru – вектор начального состояния, t – время; и уравнения

Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru , (3.16)

когда система S – денормированная, и на её вход поступает дискретный сигнал x.

По числу состояний конечные автоматы бывают с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом согласно (3.10) работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определённый выходной сигнал y(t), т.е. реализует логическую функцию вида:

y(t) = y[x(t)], t = 0, 1, 2, …

Эта функция называется булевой, если алфавиты X и Y, которым принадлежат значения сигналов x и y, состоят из 2-х букв.

По характеру отсчёта времени (дискретному) F-автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. Реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт синхронизации. Асинхронный F-автомат считывает входной сигнал непрерывно, и поэтому, реагируя на достаточно длинный водной сигнал постоянной величины x, он может, как это следует из 3.8-3.14, несколько раз изменить своё состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдёт в устойчивое.

Для задания F-автомата необходимо описать все элементы множества F = <z, x, y, j, y, z0>, т.е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов. Для задания работы F-автоматов наиболее часто используются табличный, графический и матричный способ.

В табличном способе задания используется таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы – его состояниям. При этом обычно 1-ый столбец слева соответствует начальному состоянию z0. На пересечении i-ой строки и j-ого столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение j(zk, xi) функции переходов, а в таблице выходов – y(zk, xi) функции выходов. Для F-автомата Мура обе таблицы можно совместить, получив отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием zk автомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию, согласно (3.14), выходной сигнал y(zi).

Описание работы F-автомата Миля таблицами переходов j и выходов y иллюстрируется таблицей 3.1, а описание F-автомата Мура – таблицей переходов 3.2.

Таблица 3.1 Таблица 3.2
xi zk
z0 z1 zk
Переходы
x1 j(z0, x1) j(z1, x1) j(zk, x1)
x2 j(z0, x2) j(z1, x2) j(zk, x2)
…………………………………………
xn j(z0, xn) j(z1, xn) j(zk, xn)
Выходы
x1 y(z0, x1) y(z1, x1) y(zk, x1)
…………………………………………
xn y(z0, xn) y(z1, xn) y(zk, xn)
xi y(zk)
y(z0) y(z1) y(zk)
z0 z1 zk
x1 j(z0, x1) j(z1, x1) j(zk, x1)
x2 j(z0, x2) j(z1, x2) j(zk, x2)
………………………………………
xn j(z0, xn) j(z1, xn) j(zk, xn)

При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершин дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал xk вызывает переход из состояния zi в состояние zj, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину zi с вершиной zj, обозначается xk. Для того чтобы задать функцию переходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Миля эта разметка производиться так: если входной сигнал xk действует на состояние zi, то получается дуга, исходящая из zi и помеченная xk; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом y = y(zi, xk). Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал xk, действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние zj, то дугу, направленную в zj и помеченную xk, дополнительно отмечают выходным сигналом y = y(zj, xk). На рис. 3.1 приведены заданные ранее таблицами F-автоматы Миля F1 и Мура F2 соответственно.

Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru

Рис. 3.1. Графы автоматов Миля (а) и Мура (б)

При решении задач моделирования часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru , строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы – состояниям перехода. Элемент cij = xk/ys в случае автомата Миля соответствует входному сигналу xk, вызывающему переход из состояния zi в состояние zj, и выходному сигналу ys, выдаваемому при этом переходе. Для автомата Миля F1, рассмотренного выше, матрица соединений имеет вид:

Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru .

Если переход из состояния zi в состояние zj происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы cij представляет собой множество пар «вход/выход» для этого перехода, соединённых знаком дизъюнкции.

Для F-автомата Мура элемент cij равен множеству входных сигналов на переходе (zi ® zj), а выход описывается вектором выходов:

Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) - student2.ru ,

i-ая компонента которого выходной сигнал, отмечающий состояние zi.

Для детерминированных автоматов переходы однозначны. Это означает, что в графе F-автомата из любой вершины не могут выходить 2 и более ребра, отмеченные одним и тем же входным сигналом. Аналогично этому в матрице соединений автомата C в каждой строке любой входной сигнал не должен встречаться более одного раза.

Для F-автомата состояние zk называется устойчивым, если для любого входа xi Î X, для которого j(zk, xi) = zk имеет место y(zk, xi) = yk. Таким образом, F-автомат называется асинхронным, если каждое его состояние zk Î Z устойчиво.

На практике всегда автоматы являются асинхронными, а устойчивость их состояний обеспечивается тем или иным способом, например, введением сигналов синхронизации. На уровне абстрактной теории удобно оперировать синхронными конечными автоматами.

Если в таблице переходов асинхронного автомата некоторое состояние zk стоит на пересечении строки xs и столбца zs (s ¹ k), то это состояние zk обязательно должно встретиться в этой же строке в столбце zk.

С помощью F-схем описываются узлы и элементы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией. Широта применения F-схем не означает их универсальность. Этот подход непригоден для описания процессов принятия решений, процессов в динамических системах с наличием переходных процессов и стохастических элементов.

4. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы)

К ним относятся системы массового обслуживания (queuing systems), которые называют Q-схемами.

Теория массового обслуживания составляет один из разделов теории вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и математические модели.

Детерминированная математическая модель отражает поведение объекта (системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и будущем. Вероятностная математическая модель учитывает влияние случайных факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий, т.е. задачи рассматриваются в условиях неопределенности.

Наши рекомендации