Тема 5. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ В.И. ЗУБОВА

Цель работы.

Изучение методики оценки устойчивости линейных динамических систем по критерию В.И.Зубова, получение практических навыков в применении этого критерия.

Содержание работы

1. Изучение теоретических основ метода функционально преобразованных матриц и анализа и устойчивости систем на его основе.

2. Анализ устойчивости системы по критерию В.И. Зубова.

3. Моделирование переходного процесса в системе с шагом n и заданными начальными условиями. Вывод результатов моделирования в виде графика переходного процесса.

4. Выводы.

Теоретические основы работы

Поведение некоторой САУ описывается системой

(5.1)

где A - матрица коэффициентов размера n x n , - n-мерный вектор-столбец фазовых координат, F(t) - вектор - функция внешних воздействий (n x 1).

Критерий устойчивости В.И. Зубова, основан на методе функционально преобразованных матриц [1] и позволяет решить задачу определения устойчивости линейных динамических систем по исходной матрице А без определения коэффициентов характеристического уравнения. Критерий формулируется следующим образом [1]: для того, чтобы система (5.1) была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы для матрицы

(5.2)

выполнялось условие

при , (5.3)

где 0 - нулевая матрица.

В работе [1] показано, что данный критерий справедлив во всех случаях, если матрица (Е - А) неособая, т.е, когда det(Е-А) 0.

Изучение степени матрицы В (k = 1,2,3,...) следует вести до тех пор, пока не будет соблюдаться неравенство

где - элемент матрицы В^k ( ).

Более экономичная оценка возможна на основе рассмотрения матричных норм. Так, нормы матрицы В имеют вид:

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

Для того, чтобы система (5.1) была асимптотически устойчива и при , достаточно, чтобы любая из норм (5.4)-(5.7) была меньше единицы, т.е. достаточно выполнения условия

(5.8)

Однако, если условие (5.8): не соблюдается, то из этого не следует, что исследуемая точка пространства параметров системы является неустойчивой. Вопрос об устойчивости должен быть исследован дополнительно путём рассмотрения степеней матрицы B^k.

Порядок выполнения работы

1. Для САУ, описываемой системой линейных дифференциальных уравнений вида (5.1), сконструировать матрицу В вида (5.2).

2. Для полученной матрицы В определить нормы (5.4)-(5.7) и проверить выполнение условия (5.8). Если , то исследуемая точка пространства параметров принадлежит области устойчивости.

3. Если соотношения (5.8) не выполняется, то матрицу В следует возводить в степень и рассматривать нормы последовательных степеней: ||В²||, ||В⁴||,…,||В^k||. Если при некотором фиксированном k какая-либо из норм стала меньше единицы ||В^k||<1, то условие устойчивости (5.3) выполняется.

4. Промоделировать переходной процесс в данной линейной системе при , полагая

, k = 0, 1, 2,…

При этом

Значения функции F(t) можно вычислить по формулам с любой точностью. Шаг построения процессов выбираем из соотношения h=1/R, где R - радиус круга, в котором находятся все собственные числа матрицы А Величина К может быть найдена по формуле

,

где С - множитель, округляющий значение ||А|| до ближайшего целого десятка

(сотни), а сама ||А|| находится из выражения (5.4).

5. Построить график переходного процесса системы на [0;Т] с использованием пакета MatCad.

Замечание. При вычислении матрицы В вида (5.2) можно, например, воспользоваться методом обращения матриц при помощи разбиения на клетки [1].

Варианты заданий

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

6. Содержание отчёта

1. Постановка задачи.

2. Краткая теория.

3. Алгоритм решения задачи.

4. Расчет контрольного примера.

5. Описание программы решения задачи. Листинг программы.

6. Результаты решения задачи.

7. Список используемой литературы.

Литература

1.Бессекерский В. А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М: Наука, 1972. - 767 с.

2. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. – М.: Наука, 1981.–312с.