Векторная алгебра

2.1 Даны векторы (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

Тогда .

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

D₁ =

;

D₂ =

D₃ =

Итого, координаты вектора в базисе , , : = { -1/4, 7/4, 5/2}.

2.2 Найти (5 + 3 )(2 - ), если

Решение.

10 × - 5 × + 6 × - 3 × = 10 ,

т.к. .

2.3 Найти угол между векторами и , если

.

Решение.

= (1, 2, 3), = (6, 4, -2)

× = 6 + 8 – 6 = 8:

.

cosj =

2.4 Найти векторное произведение векторов и

.

Решение.

= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)

.

2.5 Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0).

Решение.

2.6 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение.

(ед²).

2.7 Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Решение.

Найдем координаты векторов:

Найдем смешанное произведение полученных векторов:

,

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

2.8 Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0;0;1), B(2;3;5), C(6;2;3), D(3;7;2).

Решение.

Найдем координаты векторов:

Объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

S_осн = (ед²)

Т.к. V = ; (ед)

2.9. Найти координаты вектора в пространстве R³ -- трехмерном векторном пространстве, в новом базисе , ,

Решение.

Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов

Пусть - координатный столбец вектора в новом базисе. Тогда , откуда

Находим определитель

Находим алгебраические дополнения и обратную матрицу

.

Находим координаты вектора .

Таким образом, новые координаты вектора : ,

Тот же самый результат можно было получить, записав систему уравнений

Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты .