Выполнение действий с векторами через их координаты
В координатной форме записи удобно выполнять любые действия с векторами.
Чтобы умножить вектор на число, нужно все его координаты умножить на это число:
.
Чтобы найти сумму или разность векторов, нужно сложить или вычесть соответствующие координаты.
;
;
;
.
Используя свойства скалярного произведения, а также тот факт, что базисные вектора взаимно ортогональны, можно получить формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами:
;
;
.
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Формула для вычисления угла между векторами:
Учитывая свойства векторного произведения и взаимную перпендикулярность базисных векторов, можно получить способ определения координат векторного произведения через координаты входящих в него векторов и
.
;
;
.
Формулы для вычисления координат векторного произведения легче запоминаются, если представить его в виде определителя, составленного из базисных векторов и координат векторов и
, разложенного по элементам первой строки:
Смешанное произведение легко вычисляется, если вектора заданы своими координатами:
Смешанное произведение равно определителю, составленному из координат векторов, входящих в смешанное произведение.
Пример решения контрольной работы №2
Задание 1
Дано: . Для векторов
и
найти скалярное произведение и модуль векторного произведения.
Решение
Используя свойства и определение скалярного произведения, найдём:
Используя свойства векторного произведения векторов и определение его модуля, найдём:
Задание 2
Дан тетраэдр с вершинами в точках
.
Найти: 1) внутренние углы в основании (с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;
2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины
.
Решение
1) Внутренние углы в основании можно найти как углы между векторами, выходящими из соответствующих вершин:
,
,
.
Как изложено в теоретическом материале, координаты вектора равны разности координат конца и начала вектора, его длина равна корню квадратному из суммы квадратов его координат. Тогда:
Подставим координаты векторов и их длины в формулы для нахождения косинусов углов:
;
;
.
Проверка: .
С учётом проведённых округлений нахождение углов можно признать правильным.
2) Как показано в теоретическом материале данного раздела, объём треугольной пирамиды можно найти как 1/6 модуля смешанного произведения векторов, на которых она построена:
.
Найдём смешанное произведение векторов, учитывая координаты вектора :
.
Тогда .
Площадь треугольника, являющегося основанием , можно найти как половину модуля векторного произведения векторов, которые образуют данный треугольник:
.
Найдём векторное произведение:
Тогда площадь основания .
Высоту пирамиды из вершины найдём, используя формулу:
.
В данном случае и высота
.
Ответ: 1)
2) ;
;
.