Решение. 1. Ось у, направим вверх, поместив ее начало в нижней точке траектории аэростата

1. Ось у, направим вверх, поместив ее начало в нижней точке траектории аэростата. При падении на аэростат действуют силы тяжести G = тg, сила сопротивления воздуха R и подъемная сила Т (рис. 121). Аэростат принимаем за материальную точку.

2. Составляем дифференциальное уравнение движения:

.

3. Дважды интегрируем уравнение движения. Для постоянных сил
интеграл берется просто:

Начальные условия: t = 0, у = Н, . Отсюда находим константы интегрирования С₁ =mv₀, C₂ = тН. Получаем уравнения

, (1)

. (2)

Аналогично составляем уравнение при подъеме аэростата.

Рис. 121 Рис. 122

Сила сопротивления при этом меняет свое направление (рис. 122). Оставляя ось у прежней, время отсчитываем от нуля с момента подъема:

Интегрируя уравнение

, (3)

получаем

. (4)

Начальные условия: t = 0, у = 0, . Находим константы интегрирования: С₃ = 0, С₂= 0. Из (4) следует

. (5)

4. Находим искомое время падения. Обозначаем его за t₁, а время подъема — за t₂. По условию t₁ +t₂ = t₀. Подставляем в (1,2) условия: t = t₁, , у = 0, а в (5) t = t₂, у = Н. Получаем систему трех уравнений с неизвестными t₁, Н, v₀:

(6)

, (7)

. (8)

Исключая неизвестную высоту Н и неизвестную начальную скорость v₀, получаем

.