Размеченный граф состояний

Для любого фиксированного момента времени условные вероятности состояния системы в будущем зависят только от состояния системы в настоящем и не зависят от того, когда и откуда система перешла в это состояние. Предполагается ординарность суммарного потока всех событий в системе, т.е. одновременно не могут произойти два и более событий. Время перехода заявки из очереди на канал обслуживания и момент его освобождения предполагается нулевым.

Число состояний системы – бесконечно, схематично граф состояний можно изобразить следующим образом:

– в системе нет заявок;

– заняты 1 – 5 продавцов соответственно, очередь покупателей – пустая;

- заняты все продавцы, в очереди находится покупателей.

2.2. Определим вероятности состояний системы

Предварительно вычислим нагрузку:

Для расчета многоканальных систем без потерь с неограниченным временем ожидания и бесконечным потоком требований на входе воспользуемся следующими формулами. Вероятность простоя системы:

В нашем случае:

Т.е. вероятность занятости системы:

Остальные вероятности рассчитываются по формуле

Вычисляем:

Вероятности других состояний ничтожны малы, поэтому вычисление вероятностей прекращаем.

Среднее число требований в очереди:

Среднее время ожидания в очереди (формула Литтла):

Среднее число занятых каналов:

Среднее число заявок в системе:

Среднее время пребывания в системе:

3. Проведем имитационное моделирование системы массового обслуживания

3.1. Блок-схема алгоритма имитации:

3.2. Имитационная модель в среде

Shop STORAGE 5 ; пять продавцов

GENERATE(Poisson(1,5)); приход по распределению Пуассона с a=0.2

QUEUE QUE1 ;становимся в очередь

ENTER Shop

DEPART QUE1;покидаем очередь

ADVANCE (Poisson(2,10)) ;обслуживание покупателя

LEAVE Shop

TERMINATE

GENERATE 60 ;количество минут в часе

TERMINATE 1

START 640 ; количество часов

; Собираем статистику

GENERATE 1

TEST E S$Shop,0,nonP0 ; все каналы свободны

SAVEVALUE PP0+,(1/38400)

nonP0 TEST E S$Shop,1,nonP1

SAVEVALUE PP1+,(1/38400)

TRANSFER ,Toend

nonP1 TEST E S$Shop,2,nonP2

SAVEVALUE PP2+,(1/38400)

TRANSFER ,Toend

nonP2 TEST E S$Shop,3,nonP3

SAVEVALUE PP3+,(1/38400)

TRANSFER ,Toend

nonP3 TEST E S$Shop,4,nonP4

SAVEVALUE PP4+,(1/38400)

TRANSFER ,Toend

nonP4 SAVEVALUE PP5+,(1/38400);все каналы заняты

nonP5 TEST E Q$Que1,1,nonP6 ; одна заявка в очереди

SAVEVALUE PP6+,(1/38400)

TRANSFER ,Toend

nonP6 TEST E Q$Que1,2,Toend

SAVEVALUE PP7+,(1/38400)

Toend TERMINATE

Результаты моделирования

GPSS World Simulation Report - var16.29.1

Saturday, January 14, 2017 15:30:51

START TIME END TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES

0.000 38400.000 31 0 1

NAME VALUE

NONP0 13.000

NONP1 16.000

NONP2 19.000

NONP3 22.000

NONP4 25.000

NONP5 26.000

NONP6 29.000

PP0 10001.000

PP1 10004.000

PP2 10005.000

PP3 10006.000

PP4 10007.000

PP5 10002.000

PP6 10008.000

PP7 UNSPECIFIED

QUE1 10003.000

SHOP 10000.000

TOEND 31.000

LABEL LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY

1 GENERATE 7744 0 0

2 QUEUE 7744 0 0

3 ENTER 7744 0 0

4 DEPART 7744 0 0

5 ADVANCE 7744 2 0

6 LEAVE 7742 0 0

7 TERMINATE 7742 0 0

8 GENERATE 640 0 0

9 TERMINATE 640 0 0

10 GENERATE 38400 0 0

11 TEST 38400 0 0

12 SAVEVALUE 813 0 0

NONP0 13 TEST 38400 0 0

14 SAVEVALUE 10214 0 0

15 TRANSFER 10214 0 0

NONP1 16 TEST 28186 0 0

17 SAVEVALUE 17272 0 0

18 TRANSFER 17272 0 0

NONP2 19 TEST 10914 0 0

20 SAVEVALUE 8310 0 0

21 TRANSFER 8310 0 0

NONP3 22 TEST 2604 0 0

23 SAVEVALUE 1588 0 0

24 TRANSFER 1588 0 0

NONP4 25 SAVEVALUE 1016 0 0

NONP5 26 TEST 1016 0 0

27 SAVEVALUE 12 0 0

28 TRANSFER 12 0 0

NONP6 29 TEST 1004 0 0

30 SAVEVALUE 0 0 0

TOEND 31 TERMINATE 38400 0 0

QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-0) RETRY

QUE1 1 0 7744 7736 0.000 0.001 1.000 0

STORAGE CAP. REM. MIN. MAX. ENTRIES AVL. AVE.C. UTIL. RETRY DELAY

SHOP 5 3 0 5 7744 1 2.007 0.401 0 0

SAVEVALUE RETRY VALUE

PP0 0 0.021

PP5 0 0.026

PP1 0 0.266

PP2 0 0.450

PP3 0 0.216

PP4 0 0.041

PP6 0 0.000

CEC XN PRI M1 ASSEM CURRENT NEXT PARAMETER VALUE

46762 0 38384.000 46762 5 6

FEC XN PRI BDT ASSEM CURRENT NEXT PARAMETER VALUE

46777 0 38401.000 46777 0 1

46786 0 38401.000 46786 0 10

46770 0 38402.000 46770 5 6

46787 0 38460.000 46787 0 8

4 Анализ результатов моделирования

Как видим по результатам моделирования, при заданных параметрах СМО очередь покупателей практически не образуется (максимальная длина очереди равна 1), вероятности состояний начиная с составляют величину, меньшую 0,05.

Т.е. фактически, трех продавцов (работающих с заданной эффективностью) вполне достаточно для обслуживания потока покупателей, и две штатные единицы можно перевести в другой отдел магазина.

Выводы

Основным достоинством имитационного моделирования является возможность всестороннего детального исследования системы любой сложности и с любой степенью детализации, что невозможно при аналитическом и численном моделировании. Имитационное моделирование позволяет построить математическую модель, максимально приближенную к оригиналу (реальной системе), и, фактически, заменить измерения на реальной системе измерениями на модели.

При этом имитационному моделированию присущ статистический разброс результатов, который означает, что получаемые значения характеристик имеют методическую погрешность, обусловленную, прежде всего, такими факторами, как длительность моделирования и качество генераторов случайных величин.