Ий этап: построение минимальных ДНФ.

Минимальные ДНФ функции являются тупиковыми ДНФ. Поэтому, после того как все тупиковые ДНФ построены, нужно отобрать те из них, которые имеют наименьшую сложность (таких может быть несколько). Это и будут минимальные ДНФ.

Например, для функции обе тупиковые ДНФ имеют сложность, равную шести, и, следовательно, обе являются минимальными.

Упражнение 22. Построить минимальные ДНФ функции:

а) ; б) ;

в) ; г) .

◄ а) 1 этап. Строим сокращенную ДНФ функции:

.

2-ой и 3-й этапы для данной функции не актуальны. Действительно, функция зависит от переменных существенным образом и, значит, не может быть представлена ДНФ, содержащей менее трех букв. Следовательно, сокращенная ДНФ функции является также тупиковой и минимальной.

б)1-й этап. Строим сокращенную ДНФ функции:

.

Переход I: операция неполного склеивания применена к парам конъюнкций 1 и 2, 1 и 4, 2 и 5, 3 и 7, 4 и 5, 5 и 6, 6 и 7.

Переход II: применена операция поглощения - каждая из конъюнкций 4-го ранга поглощена какой-то из конъюнкций 3-го ранга.

Переход III: операция неполного склеивания применена к парам конъюнкций 8 и 12, 9 и 10.

Переход IV: применена операция поглощения и убраны дублирующие члены.

Итак, мы нашли сокращенную ДНФ функции: .

2-й этап. Введем обозначения для простых импликант функции: , , , . Составим импликантную таблицу:

Тогда

.

Таким образом, имеем две тупиковых ДНФ, реализующие функцию : и .

3-й этап. Тупиковые ДНФ функции имеют одинаковую сложность (равную восьми), и, следовательно, обе являются минимальными.

в), г) решите самостоятельно. ►

§ 2.4. Классы Поста и полнота

2.4.1. Понятие о полноте системы булевых функций

Определение. Множество булевых функций называется полной системой, если любая булева функция из может быть реализована формулой над .

Упражнение 2.25. Доказать, что - полная система.

◄ Возможны два случая:

1. . Тогда и может быть реализована в виде СКНФ.

2. . Тогда может быть реализована в виде СДНФ.

Таким образом, любая булева функция может быть реализована формулой над множеством , что и означает полноту этой системы функций. ►

Теорема (о полноте двух систем). Пусть заданы две системы функций из : и . Тогда, если система - полная и каждая ее функция может быть реализована формулой над , то система тоже полная.

Докажем это утверждение. Пусть - произвольная функция из . Надо показать, что ее можно реализовать формулой над . Рассуждаем так. В силу полноты реализуется формулой над , т.е. . В свою очередь, по условию реализуются формулами над , т.е. . Следовательно, в формуле мы можем исключить вхождение символов функций , заменив их соответствующими формулами: . Полученное выражение определяет формулу над , реализующую .

Упражнение 2.26. Используя теорему о полноте двух систем, доказать полноту системы булевых функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

◄ а)Докажем, что - полная система. Действительно, пусть и . Система - полная и, поскольку , то каждая функция этой системы выражается формулой над . Таким образом, условия теоремы о полноте двух систем выполнены и, значит, система - полная система.

б) Докажем, что полная система. Действительно, пусть и . Имеем: или . Следовательно, и . Таким образом, каждая функция полной системы реализуется формулой над . Следовательно, условия теоремы о полноте двух систем выполнены и, значит, - полная система.

в) и г)докажите самостоятельно. ►

2.4.2. Реализация булевых функций полиномом Жегалкина

Возьмем произвольную функцию . Поставим цель – реализовать ее в виде суммы (по модулю два) слагаемых, каждое из которых представляет собой конъюнкцию нескольких переменных.

Вначале рассмотрим эту задачу на конкретном примере. Для функции имеем:

.

В ходе преобразований мы воспользовались несколькими доказанными ранее (упр. 2.12) равносильностями: , , , , , .

Аналогичным образом можно поступать с произвольной функцией: сначала реализовать ее в виде СДНФ или СКНФ; затем, воспользовавшись законом де Моргана, избавиться от дизъюнкции; раскрыть скобки, воспользовавшись дистрибутивностью операций сложения по модулю два и конъюнкции; после этого полученное выражение упростить, используя тождества , , , , . В результате функция окажется реализована формулой, представляющей собой сумму (по модулю два) конъюнкций переменных. Формулы такого вида называют полиномами Жегалкина.

Дадим строгое определение полинома Жегалкина. Пусть M – произвольное подмножество булевого куба , , - номер вектора , - его вес, - номера отличных от нуля координат вектора .

Определение. Формула вида

, (***)

где суммирование ведется по модулю два, а коэффициенты равны либо 0, либо 1, называется полиномом Жегалкина от переменных.

Если суммирование в формуле (***), ведется по всем булевым векторам длины n, слагаемые идут в порядке возрастания номеров булевых векторов и , то говорят, что полином Жегалкина записан в канонической форме.

Наибольший из рангов элементарных конъюнкций, входящих в полином с единичными коэффициентами, называется степенью полинома.

Возможно, строгое определение канонического полинома Жегалкина показалось Вам неясным. Лучший способ его осознать – переформировать применительно к какому-нибудь частному случаю, например, случаю 2-х переменных.

Рассуждаем так. Согласно определению в формуле (***) слагаемых столько, сколько булевых векторов в множестве , т.е. 4; слагаемые идут в порядке возрастания номеров булевых векторов, т.е. первое слагаемое соответствует булевому вектору (0,0), второе - (0,1), третье - (1,0), четвертое - (1,1). Слагаемые представляют собой конъюнкции, в которые входят только те переменные, значения которых в соответствующем булевом векторе равны 1, конъюнкции помножены на числовой коэффициент. Таким образом, слагаемое, соответствующее булевому вектору (0,0) (его номер 0), имеет вид ; слагаемое, соответствующее булевому вектору (0,1) (его номер 1), имеет вид ; слагаемое, соответствующее булевому вектору (1,0) (его номер 2), имеет вид ; слагаемое, соответствующее булевому вектору (1,1) (его номер 3), имеет вид . Итак, канонический полином Жегалкина от 2-х переменных - это формула вида .

Рассуждая аналогично, выпишем в общем виде канонический полином Жегалкина от 3-х переменных - (Это удобно делать, имея перед глазами таблицу истинности функции трех переменных, поскольку в этой таблице булевы вектора перечисляются в нужном нам порядке).

Упражнение 2.27. Найти число канонических полиномов Жегалкина от переменных.

◄ Каждый канонический полином Жегалкина от переменных однозначно определяется набором своих коэффициентов . Каждый такой набор можно рассматривать как булев вектор длины . Следовательно, канонических полиномов Жегалкина от переменных столько же, сколько булевых векторов длины , т.е. . ►

Заметим, что каждый полином Жегалкина от n переменных можно записать в канонической форме. Например, полином Жегалкина от двух переменных в канонической форме запишется так: .

Выше на примере функции мы показали, как можно реализовать функцию в виде полинома Жегалкина. Полученный полином можно переписать в канонической форме . В связи с этим естественно задаться вопросом: каждую ли булеву функцию можно реализовать в виде канонического полинома Жегалкина? Оказывается, да. Действительно, с произвольной функцией можно действовать так же как с функцией : сначала реализовать ее в виде СДНФ или СКНФ; затем, воспользовавшись законом де Моргана, избавиться от дизъюнкции; раскрыть скобки, воспользовавшись дистрибутивностью операций сложения по модулю два и конъюнкции; после этого полученное выражение упростить, используя тождества , , , , . В результате функция окажется реализованной в виде полинома Жегалкина, который легко переписать в канонической форме.

Положим, мы построили для функции канонический полином Жегалкина. Естественно поинтересоваться: нельзя ли, действуя иначе, получить для той же функции другой канонический полином Жегалкина. Оказывается, нельзя.

Действительно, число канонических полиномов Жегалкина от переменных равно и число функций от переменных равно . Предположим, что найдется функция, представление которой в виде канонического полинома Жегалкина не единственно. Поскольку число булевых функций переменных и число канонических полиномов Жегалкина от переменных одинаково, то из неоднозначности представления следует, что найдется канонический полином Жегалкина, реализующий не менее двух функций, что невозможно. Пришли к противоречию, следовательно, наше предположение о неоднозначности представления было неверным.

Мы доказали теорему: каждая булева функция от переменных может быть реализована в виде канонического полинома Жегалкина от переменных, причем единственным образом.

Для нахождения полинома Жегалкина, реализующего функцию , применяют два способа: метод равносильных преобразований и метод неопределенных коэффициентов.

Методом равносильных преобразований мы уже пользовались, когда искали полином Жегалкина функции .

Упражнение 2.28. Используя метод равносильных преобразований, найти полином Жегалкина, реализующий функцию:

а) ; б) ;

в) ; г) .

◄ а) .

б) .

в) и г)решите самостоятельно. ►

Метод неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть функция зависит от переменных. В общем виде записывают канонический полином Жегалкина от переменных. Для каждого набора значений переменных составляют уравнение . В результате получают систему из уравнений, которая однозначно определяет коэффициенты полинома.

Упражнение 2.29. Используя метод неопределенных коэффициентов, найти полином Жегалкина, реализующий функцию:

а) ; б) ;

в) ; г) .

◄ а)Зададим функцию таблично:

Канонический полином Жегалкина от двух переменных имеет вид: . Поэтому должны выполняться равенства:

;

;

;

.

Откуда последовательно находим , , , . Таким образом, .

б)

Запишем в общем виде канонический полином Жегалкина от трех переменных:

.

Нам нужно подобрать такие коэффициенты , чтобы на каждом наборе значений переменных выполнялось равенство: :

; ;

;

;

;

;

;

.

Коэффициенты найдены и можно записать канонический полином Жегалкина: .

Каноническая форма полинома Жегалкина довольно громоздкая и в практическом плане не имеет каких-либо преимуществ перед любой другой формой. Поэтому имеет смысл упростить полученное выражение, опустив нулевые члены и единичные сомножители: .

в) и г)решите самостоятельно. ►

2.4.3 Классы Поста

Определение. Говорят, что булева функция сохраняет 0, если .

Обозначим через множество функций от переменных, сохраняющих 0, а через – множество всех булевых функций, сохраняющих 0, т.е. .

Например, , т.к. ; , т.к. .

Определение. Говорят, что булева функция сохраняет 1, если .

Обозначим через множество функций от переменных, сохраняющих 1, а через – множество всех булевых функций, сохраняющих 1, т.е. .

Например, , т.к. ;

, т.к. .

Упражнение 2.30. а)Какие из функцийодной переменной принадлежат, а какие не принадлежат множествам , ?

б) Какие из элементарных функций двух переменных принадлежат, а какие не принадлежат множествам , ?

◄ а) , , , .

б) решить самостоятельно.►

Упражнение 2.31. а) Перечислите векторы значений булевых функций 2-х переменных, сохраняющих 0.

б) Перечислите векторы значений булевых функций 2-х переменных, сохраняющих как 0, так и 1.

в) Сколько имеется булевых функций от переменных, сохраняющих 0?

г) Сколько имеется булевых функций от переменных, сохраняющих 1?

д) Сколько булевых функций содержится во множестве ?

е) Сколько булевых функций содержится во множестве ?

◄ а)иб) решите самостоятельно.

в)Пусть . Вектор значений такой функции имеет координат, первая из которых равна 0, т.е. . Следовательно, функций от переменных, сохраняющих 0, столько же, сколько булевых векторов длины , т.е. .

г) и д) решите самостоятельно.

е) Разобьем множество на три подмножества: в первое включим функции, сохраняющие 0, но не сохраняющие 1, во второе – функции, сохраняющие 1, но не сохраняющие 0, в третье – функции, сохраняющие как 0, так и 1. В первом подмножестве содержится функций (первая и последняя координаты вектора значений этих функция равны 0), во втором - (первая и последняя координаты вектора значений этих функция равны 1), в третьем - (первая координата вектора значений этих функция равна 0, последняя - 1). Следовательно, .

Другой подход к решению – использование формулы мощности объединения множеств:

►

Определение. Булева функция называется самодвойственной, если , т.е. на любом наборе значений переменных выполняется равенство т.е. .

Иначе говоря, булева функция самодвойственная, если на противоположных наборах она принимает противоположные значения

Обозначим через множество самодвойственных функций от переменных, а через – множество всех самодвойственных функций; т.е. .

Упражнение 2.32.Дать определение несамодвойственной функции.

◄Булева функция несамодвойственная, если существует такой набор значений переменных такой, что .►

Например, , т.к. .

Упражнение 2.33. а)Перечислите самодвойственные функцииодной переменной.

б) Перечислите элементарные самодвойственные функции двух переменных.

◄ а) , , , , таким образом, среди функций одного аргумента самодвойственными являются тождественная функция и отрицание.

б) решить самостоятельно.►

Определение. Если для любого ( ), то говорят, что вектор предшествует вектору и пишут .

Обратите внимание, если номер вектора меньше номера вектора (и, значит, в таблице истинности стоит выше ), то это еще не значит, что предшествует . Чтобы выяснить предшествует ли один вектор другому, нужно сравнить их координаты (первую с первой, вторую со второй, и т.д.). Например, вектор предшествует , но не предшествует вектору . Еще примеры: ; . Заметьте, есть пары векторов, в которых ни один из векторов не предшествует другому.

Если имеет место хотя бы одно из соотношений или , то и называют сравнимыми. В противном случае – несравнимыми.

Упражнение 2.32. а) Перечислите булевы вектора, предшествующие .

б)Перечислите булевы вектора, предшествующие .

◄ а)Булев вектор будет предшествовать вектору , если его первая и третья координаты будут либо равны 0, либо 1, а вторая и четвертая равны 0. Этим условиям удовлетворяют вектора , , , а также сам вектор .

б) решить самостоятельно.►

Упражнение 2.35. а)Сколько существует булевых векторов, предшествующих вектору ?

б)Сколько существует булевых векторов, которым предшествует вектор (101000101)?

◄ а) Вектора, предшествующие вектору , имеют вид , где выбираются из множества . Для подсчета используем правило произведения. Вначале выбираем значение (это можно сделать двумя способами – взять 0 или 1), затем выбираем значение (0 или 1), и последним выбираем значение (0 или 1). Следовательно, общее число предшествующих векторов равно .

б) Решить самостоятельно.►

Определение. Говорят, что булева функция монотонна, если для любых наборов и значений переменных, таких что , выполняется неравенство .

Обозначим через множество монотонных функций от переменных, а через – множество всех монотонных функций; т.е. .

Упражнение 2.36.Дать определение немонотонной функции.

◄Булева функция немонотонная, если найдутся такие наборы и значений переменных, что , а . ►

В случае функции одной переменной функция монотонна при выполнении неравенства . В частном случае двух переменных функция монотонна, если выполняются неравенства: , , , , . Обратите внимание: так как в паре векторов ни один не предшествует другому, то и значения и не сравниваются. Например, функции - монотонны, а функции немонотонны.

Упражнение 2.37. Выяснить, монотонна или нет функция:

а) ; б) .

◄ а)Будем последовательно перебирать пары булевых векторов, отбирать из них сравнимые и сопоставлять значения функции на векторах этих пар.

Перебор можно вести, придерживаясь такой схемы: сначала перебираем пары с вектором ,

затем пары с вектором (вектор уже не рассматриваем), затем пары с вектором (вектора и уже не рассматриваем) и т.д.

Вектор предшествует всем прочим булевым векторам длины 3, при этом значение функции на этом векторе, будучи равным нулю, меньше либо равно значениям функции на всех других векторах. Этот факт не позволяет сделать никаких выводов относительно монотонности функции , поэтому переходим к рассмотрению пар с вектором . Вектор предшествует векторам , , , при этом , однако уже . Следовательно, условие монотонности нарушено, и, значит, функция немонотонна.

б) Последовательно перебрав все пары сравнимых векторов, убеждаемся, что функция монотонна.►

Обратите внимание: для вывода о не монотонности функции достаточно указать два булевых вектора и , такие что , а . Для вывода о монотонности, нужно сравнить значения функции на всех парах сравнимых векторов.

Определение. Говорят, что булева функция линейна, если степень ее канонического полинома Жегалкина меньше либо равна 1.

Иначе говоря, функция линейна, если ее полином Жегалкина имеет вид .

Обозначим через множество линейных функций от переменных, а через – множество всех линейных булевых функций, т.е. .

Упражнение 2.38.Дать определение нелинейной функции.

◄Булева функция нелинейна, если степень ее канонического полинома Жегалкина больше либо равна двум. ►

Из определений следует: для того, чтобы определить, является функция линейной или нет, необходимо вначале реализовать ее полиномом Жегалкина.

Например, все функции одной переменной линейны; , , , линейными не являются.

Упражнение 2.39. а) Выписать полиномы Жегалкина линейных булевых функций от 2-х переменных.

б) Выяснить, сколько имеется линейных булевых функций от переменных.

◄ а) решите самостоятельно.

б) Между булевыми функциями переменных и каноническими полиномами Жегалкина от переменных существует взаимно однозначное соответствие, значит, линейных булевых функций от переменных столько же, сколько канонических полиномов Жегалкина вида . Каждый такой полином Жегалкина определяется набором коэффициентов , а количество таких наборов равно . Значит, .►

Упражнение 2.40. Определите, каким из классов Поста принадлежат функции:

а) ; б) ; а) ; б) .

◄ а) . Имеем:

, следовательно, ;

, следовательно, ;

, следовательно, ;

, а , следовательно, ;

, следовательно, .

б) . Имеем:

, следовательно, ;

, следовательно, ;

, следовательно, ;

, а , следовательно, ;

, следовательно, .

Пунктыв)иг) решите самостоятельно.►

Классы , , , , называют классами Поста.

Упражнение 2.41. Определите, каким из классов Поста принадлежат функции

а) ; б) .

◄ а)Удобно работать с функцией, заданной таблично:

, следовательно, ;

, следовательно, ;

, следовательно, ;

, а , следовательно, .