Тапсырмаларды орындауға әдістемелік нұсқаулар. Типтік нұсқаның шешуі

бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерді шешу алгоритмі шешу тәсілін анықтауға көмектеседі.

№	Теңдеудің аты	Теңдеудің формуламен жазылуы + түсініктеме	Теңдеуді шешуге нұсқау
	Қарапайым ДТ
	Айнымалылары ажыратылған теңдеу		,   – тұрақты
	Айнымалылары ажыратылатын теңдеу		№2
	№2
	Сызықтық біртекті теңдеу		3-пунктті қараңыз: (1)
	Сызықтық біртекті емес теңдеу		Сәйкес сызықтық біртекті теңдеуді шешіңіз. (1) - дегі С-ны -ке тәуелді функция деп есептеп, (1)-ді 5-пунктке қойыңыз: (C+ +
	Бернулли теңдеуі		Ауыстыру:
	Толық дифференциалды теңдеу	, мұндағы	немесе

Тапсырма 1. функциясының теңдеудің шешімі болатындығын, болмайтындығын тексеріңіз.

Шешуі.

Функцияның туындысын табамыз:

.

Берілген теңдеуге және мәндерін қоямыз:

.

Жауабы: берілген функция теңдеудің шешімі болады.

Тапсырма 2. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз:

Шешуі.

айнымалылары ажыратылатын теңдеу. айнымалылары ажыратылған теңдеу.

Жауабы: теңдеудің жалпы интегралы.

Тапсырма 3.Коши есебін шешіп, интегралдық қисықты сызыңыз: .

Шешуі.

айнымалылары ажыратылатын теңдеу.

теңдеудің жалпы шешімі.

Бастапқы шарттарды қолданамыз: бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дербес шешім.

Жауабы: .

Тапсырма 4. Коши есебін шешіңіз:

Шешуі.

айнымалылары ажыратылатын теңдеу.

қа бөлеміз: теңдеудің жалпы шешімі.

Бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дербес шешімді іздейміз: .

Ескерту. қа бөлгенде = 0 немесе = 0 шешімін жоғалтуымыз мүмкін. Теңдеуге қою арқылы = 0 осы теңдеудің шешімі екендігіне көз жеткіземіз. Сонымен қатар, = 0 теңдеудің жалпы шешіміне кірмейтіндіктен, ерекше шешімі болады.

Жауабы: = 0.

Тапсырма 5. Коши есебін шешіңіз:

Шешуі.

Тұрақтыны вариациалау тәсілін қолданамыз. Теңдеуді ке бөлеміз:

бірінші ретті сызықтық біртекті емес теңдеу.

Сәйкес сызықтық біртекті теңдеу жазамыз: .

Бұл айнымалылары ажыратылатын теңдеу.

сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі. Сызықтық біртекті емес теңдеудің шешімін түрінде іздейміз, мұндағы белгісіз функция.

Берілген теңдеуге мәндерін қоямыз:

Демек, теңдеудің жалпы шешімі. (0) = 0 бастапқы шартын қолданамыз:

0 = -1+ С; С = 1.

Жауабы: .

Тапсырма 6.Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз:

Шешуі.

Бернулли теңдеуі.

Ауыстыру жасаймыз: . . Теңдеуге қоямыз: сызықтық теңдеу.

, .

Демек, .

Сонымен, яғни .

Жауабы: .

Тапсырма 7.Дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралын табыңыз:

Шешуі.

, демек толық дифференциалдың шарттары орындалады: . Белгісіз функцияны мына формула бойынша табамыз: .

деп аламыз:

.

болғандықтан, берілген теңдеудің жалпы интегралы.

Жауабы:

8 және 9 тапсырмаларды «Ретін төмендетуге болатын жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер» тақырыбы бойынша құрылған төмендегі кестенің көмегімен шешуге болады.

№	Теңдеудің формуламен жазылуы	Түсініктеме	Қажет ауыстыру (инструкция)
		Функцияның туындысы -ке тәуелді функция арқылы айқын түрде берілген	рет интегралдау
	0	Теңдеуде тәуелсіз айнымалы жоқ	, ( ) ( )
	0	Теңдеуде белгісіз функция ( ) жоқ	= , =
		Теңдеуде белгісіз функцияның -1 ретті туындылары жоқ	, … ,

Тапсырма 8. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз:

Шешуі.

Бұл теңдеу түріндегі екінші ретті теңдеу. Екі рет интегралдау арқылы ретін төмендетеміз:

Жауабы: жалпы шешімі.

Тапсырма 9.Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз:

Шешуі.

Бұл – функциясы айқын түрде көрсетілмеген теңдеу.

ауыстыруын қолданамыз, сонда .

Теңдеу мына түрге келеді: айнымалылары ажыратылатын теңдеу. Екі жағын бөлеміз: .

болғандықтан, айнымалылары ажыратылатын теңдеу.

жалпы шешімі.

Ескерту. ке бөлгенде және шешімдерін жоғалтып алуымыз мүмкін. теңдеуінен бірақ бұл шешім мәнінде жалпы шешімде бар. теңдеуі -тің нақты мәндерінде орындалмайды.

Жауабы:

Тапсырма 10.Коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз.

Мұндай тапсырмаларды орындау үшін екінші ретті коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеуді қарастырамыз:

Сипаттаушы теңдеуін жазамыз: ,

	Сипаттаушы теңдеудің түбірлері	Шешімнің фундаментальді жүйесі	Жоғарғы ретті коэффициент тері тұрақты сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі =C1 1+C2 2
>0		,	= C1 C2
=0	,	1= , 2=	= C1 C2 немесе = С1+ C2
<0		1= , 2=	=C1 C2 немесе = C2

Мысал 1.
Шешуі.

берілген теңдеудің сипаттаушы теңдеуі.

сипаттаушы теңдеудің әртүрлі нақты түбірлері.

Жалпы шешімі: .

Жауабы: .

Мысал 2.

Шешуі. сипаттаушы теңдеу.

сипаттаушы теңдеудің бірдей түбірлері.

Жалпы шешімі: .

Жауабы:

Мысал 3.

Шешуі. Сипаттаушы теңдеу құрамыз: .

сипаттаушы теңдеудің комплекс түбірлері. болғандықтан, жалпы шешімі мына түрде болады:

Жауабы: .

Тапсырма 11.Коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз:

Шешуі.

Бұл екінші ретті коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу:

, мұндағы .

Жалпы шешімін мына түрде іздейміз: = _бірт. + _д.ш.,

мұндағы _бірт. – берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі, _д.ш. = мұндағы cипаттаушы теңдеудің түбірлерінің ішіндегі a+bi дің саны, _.

1) Берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеуін жазып, жалпы шешімін табамыз: , cипаттаушы теңдеуі, cипаттаушы теңдеудің түбірлері, демек _бірт. .

2) Біртекті емес теңдеудің дербес шешімін функциясының түріне байланысты анықталмаған коэффициенттер тәсілімен табамыз: және cипаттаушы теңдеудің түбірі болмайтындықтан, дербес шешімді түрінде іздейміз. Сонда Белгісіз коэффициентті табу үшін мәндерін бастапқы теңдеуге қоямыз:

, .

Демек, жалпы шешімі.

Жауабы: .

Тапсырма 12. Дифференциалдық теңдеулер жүйесін айнымалыны жою тәсілімен шешіңіз:

Шешуі.

Бірінші теңдеуді бойынша дифференциалдаймыз: . Жүйеден ті жою үшін екі теңдеуді қосамыз: . Демек, ; коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу.

, . – ні бірінші теңдеуден табамыз:

Жауабы:

Дебиеттер

1. Хасеинов К.А. Математика канондары. – Алматы: MMIV, 2004.

2. Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы.

1,2 т. Алматы: 1963–1970.

3. Көксалов К.К. Жоғары математика курсы. – Алматы: 2002.

4. Айдос Е.Ж. Жоғары математика.–Алматы: «Иль-Тех-Кітап», 2003.

5. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: В Ш, 1985. –369 с.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1,2 – М.: Наука, 1985. – 432 с.

7. Данко П.Е., и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.1,2. 2003.

8. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа /Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986, 2002– 368 с.

9. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). – М.: Высшая школа, 1983. –176 с.

10. Базарбаева С.Е., Ким Л.Н., Курбанова Р.А. Математика 3 (методические указания и тестовые задания для подготовки к экзамену).-Алматы: АИЭС,-2007.-27 с.

11. Индивидуальные задания по высшей математике: Комплексные числа. Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных. Обыкновенные дифференциальные уравнения ч.2: Учеб. пособие/ под ред. А.П. Рябушко – Мн.:Выш.шк.,2000.-396 с.

12. Жуматаева С.А.,Темешева С.М. Математика 3. Конспект лекций (для студентов всех форм обучения всех специальностей).- Алматы: АИЭС, -2008.- 66 с.

13. Базарбаева С.Е., Дулэпо В.М. Высшая математика. Методические указания и задания к расчетно графической работе. Ч.6. – Алматы: АИЭС, 2002 – 32 с.

Мазмұны

1.	Кіріспе
2.	Есептеу –сызба жұмыстарының тапсырмалары
3.	Тапсырмаларды орындауға әдістемелік нұсқаулар. Типтік нұсқаның шешуі
4.	Әдебиеттер тізімі