Монотонность функции. достаточные условия экстремума функции
РАЗДЕЛ 5. ЭКСТРЕМУМЫ
· Излагаются вопросы исследования функций на экстремум
· Рассматриваются экстремумы функций одной и нескольких переменных
МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ
Напомним основные определения.
Определение. Функция , определенная на промежутке
, возрастает на этом промежутке, если для любых
,
имеет место неравенство
.
Функция , определенная на промежутке
, не убывает на
, если для любых
,
имеет место неравенство
.
Функция , определенная на промежутке
, убывает на
, если для любых
,
имеет место неравенство
.
Функция , определенная на промежутке
, не возрастает на
, если для любых
,
имеет место неравенство
.
Общее название рассмотренных функций - монотонные функции.
Ясно, что если функция возрастает на , то она, тем более, не убывает на
(но не наоборот). Аналогичное замечание справедливо для убывающей функции.
Общее название возрастающих, убывающих функций – строго монотонные функции.
Теорема.Пусть функция дифференцируема на интервале
. Она не убывает (не возрастает) на
тогда и только тогда, когда для всех
выполняется неравенство
.
◄Пусть не убывает на
(случай невозрастания рассматривается аналогично). Тогда рассмотрим произвольную точку
и приращения
такие, что
. Если
, то
и
.
Если , то
, но все равно
. Предел
существует и равен
. По теореме о предельном перехоле в неравенстве этот предел
.
Обратно пусть для всех выполняется неравенство
. Пусть
,
. К отрезку
можно применить теорему Лагранжа. Действительно, т.к.
дифференцируема на
, то она непрерывна на
, а, значит, и на
. Также по условию она дифференцируема на
. Следовательно,
.►
Теорема допускает уточнение
Теорема.Пусть дифференцируема на
и для всех
выполняется неравенство
. Тогда
возрастает на
.
◄Как и в предыдущей теореме, получаем, что для любых ,
, имеет место неравенство
.►
Замечание. Утверждать, что если функция возрастает, то для всех выполняется неравенство
нельзя. Пример функции
показывает, что хотя эта функция возрастает на всей прямой, есть точка
, в которой ее производная равна 0.
Таким образом, даже возрастание функции гарантирует, по теореме 29.1, лишь нестрогое неравенство
.
В теореме Ферма установлено необходимое условие экстремума: Если функция имеет производную
в точке экстремума
, то
.
Как показывает пример из предыдущего замечания, , это условие не является достаточным.
Теорема. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности
и пусть
для всех
и
для всех
. Тогда
-точка минимума. Если же
для всех
и
для всех
, то
- точка максимума.
◄Проведём доказательство для точки минимума. Пусть , и
.
Если , то применим теорему Лагранжа к отрезку
:
.
Если , то применим теорему Лагранжа к отрезку
:
,
Поэтому . Таким образом,
- точка минимума.►
Теорема. Пусть ,
существует в
и
. Пусть
такова, что
,
Тогда если , то
- точка максимума, если
, то
- точка минимума.
◄Условия теоремы дают возможность применить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, согласно которой, с учётом равенства , имеем:
, где
при
.
Пусть . Так как
при
, существует
такое, что для любых
:
выполняется неравенство
.
Это означает, что модуль второго слагаемого в сумме не превосходит половины модуля первого слагаемого, т.е.
, поэтому знак этой суммы совпадает со знаком
. Но знак этой величины совпадает со знаком
как при
, так и при
, так как
. Следовательно, приращение
не меняет знак в окрестности точки
, и знак его совпадает со знаком
. Это и означает, что если
, то
- точка максимума, а если
, то
- точка минимума.►
Ещё более тонкий достаточный признак экстремума содержится в следующей теореме.
Теорема.Пусть ,
существует в
и
. Пусть точка
такова, что
, а
. Тогда если n – чётное число, то в точке
есть экстремум, минимум при
, максимум при
.
Если же n – нечётное число, то в точке экстремума нет.
◄Аналогично предыдущей теореме, получаем равенство , где
при
, из которого точно так же следует, что знак приращения
совпадает со знаком
при условии
.
Если n – чётное число, то, как и в предыдущей теореме, как для
, так и для
, поэтому знак приращения совпадает со знаком
и заключение теоремы становится очевидным.
Если же n – нечётное число, то величина положительна при
и отрицательна при
, поэтому приращение
меняет свой знак в произвольной окрестности точки
, следовательно, в точке
нет экстремума. ►