Приемы, облегчающие построение графика функции

Укажем приемы, облегчающие построение графика функции в ряде случаев, которые часто встречаются в практике

4.1. Для того чтобы по известному графику функции построить график функции , надо построить линию симметричную линии относительно .

4.2. Для того чтобы по известному графику функции построить график функции , надо построить линию, симметричную линии относительно оси .

4.3. Если известен график функции , то, чтобы построить график функции , надо перенести график функции вдоль оси на единиц масштаба вправо, если , и влево, если , (предполагается, что ось направлена вправо).

4.4. График функции получается из графика функции переносом этого графика на единиц масштаба вверх, если , и вниз, если (предполагается что ось направлена вверх).

4.5. График функции получается из графика функции умножением всех его ординат на при сохранении величины соответствующих абсцисс.

4.6. График функции получается из графика функции делением всех абсцисс этого графика на , если , и умножением из на , если , при сохранении величин соответствующих ординат.

Применяя последовательно эти приемы, можно, зная график функции , построить график более сложной функции вида

Упражнения, связанные с понятиями четной и нечетной функции

Задача 4.1

Доказать, что функция – четная.

Решение.

Вычислим . Если окажется, что , то из определения 3 будет следовать, что функция —четная:

.

Равенство (4.1) выполняется, а поэтому заданная функция – четная.

Задача 4.2

Доказать, что функция – нечетная.

Решение.

Вычислим, и если окажется, что , то из определения 4 будет следовать, что заданная функция действительно нечетная: .

Задача 4.3

(для самостоятельного решения). Доказать, что функция – четная.

Задача 4.4

(для самостоятельного решения). Доказать нечетность функций:

1) ;

2) .

Задача 4.5

(для самостоятельного решения). Доказать четность функций:

1) ;

2) .

Задача 4.6

Выяснить, является ли функция четной или нечетной.

Решение.

Вычислим :

.

Отсюда заключаем, что изменение знака у аргумента изменило абсолютную величину функции; ни равенство (4.1), ни равенство (4.2) не выполняется, а поэтому данная функция не может быть отнесена ни к числу четных, ни к числу нечетных функций.

Читателю необходимо уяснить, что функция но обязательно должна быть либо четной, либо нечетной.

Задача 4.7

(для самостоятельно решения). Показать, что функции и нельзя отнести ни к четным, ни к нечетным функциям.

Задача 4.8

Доказать, что сумма или разность двух четных функций есть функция четная.

Решение.

Пусть , причем функции и —четные. Тогда , а (4.3).

Вычислим : .

На основании равенств (4.3) , и требуемое доказано: .

Доказанное предложение распространяется на алгебраическую сумму любого конечного числа слагаемых (предполагалось что функции и рассматриваются в одной и той же симметричной области).

Задача 4.9

(для самостоятельного решения). Доказать, что сумма или разность двух нечетных функций есть функция нечетная (предполагается, что функции рассматриваются в одной и той же симметричной области).

Задача 4.10

Доказать, что произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четна.

Решение.

Пусть функции и четные. Тогда , а . Составим их произведение: , и тогда ; тем самым доказано, что произведение двух четных функций – функция четная.

Теперь самостоятельно докажите, что произведение двух нечетных функций есть тоже функция четная.

Задача 4.11

(для самостоятельного решения). Доказать, что произведение функции четной на нечетную есть функция нечетная.

Задача 4.12

(для самостоятельного решения). Выяснить, какая из функций

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) является четной, а какая нечетной.

Ответ.

Функции 1), 2), 3), 4), 6), 7) – четные, 5) – нечетная.