Рассмотрим уравнение кривой второго порядка общего вида

.(9)

Инвариантом уравнения (9) называют алгебраическое выражение , составленное из коэффициентов при старших членах уравнения (9) , которое не изменяется при любом преобразовании координат.

С помощью инварианта определяют принадлежность кривой к определенному типу : 1) если , то уравнение определяет кривую эллиптического типа ; 2) если , то гиперболического типа ; 3) если , то параболического типа.

Так как в уравнении (9) , то оси симметрии кривой не параллельны осям координат . Повернем оси координат так, чтобы они стали параллельны осям симметрии кривой, для этого воспользуемся формулами поворота осей координат (3) : , . Подставим выражения для в уравнение (9), имеем

.

Раскроем скобки и приведем подобные члены, в новых координатах получаем уравнение

,(10)

где ,

,

,

, .

Выберем угол так, чтобы в новой системе координат оси симметрии были параллельны осям координат , т.е. положим , или

.

Так как , поэтому . После поворота осей координат на этот угол в уравнении (10) исчезнет произведение переменных .

В задании 3 дано уравнение

.

Так как , , то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Приведем его к каноническому виду. Для этого вначале выполним поворот системы координат на угол , для которого ; по формулам тригонометрии

, , находим

, , и записываем по формулам поворота осей координат (3)

,

.

Подставим выражения и в данное уравнение, получим

.

Раскроем скобки, приведем подобные члены, получим

.

Выполнив параллельный перенос системы координат, приведем это уравнение к каноническому уравнению гиперболы. Для этого сгруппируем слагаемые с одноименными переменными

,

выделим полные квадраты относительно ,

, или

, или

.

Поместим начало новой системы координат в точку , воспользуемся формулами параллельного переноса (2)

, , или, учитывая координаты нового начала ,

, , окончательно получим

.(11)

Построим все три системы координат , , , учитывая, что угол поворота системы

,

а точка в системе координат имеет координаты . В систему координат поместим кривую (гиперболу), определяемую уравнением (11).

Рис. 6

К заданию 4.

Как известно, пара чисел на плоскости определяет точку, а уравнение, связывающее и , – линию на плоскости. Помимо декартовых, на плоскости можно построить большое число других систем координат. Каждая из систем употребляется там, где это удобнее (и декартова – чаще всех бывает удобной), но при исследовании вращательных движений самой эффективной является полярная система координат.

Рис. 7

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки (полюса), исходящего из этой точки луча (полярной оси) и указанием единицы масштаба. Рассмотрим произвольную точку плоскости ; обозначим расстояние точки от полюса через , угол, на который нужно повернуть луч для совмещения его с , через φ. Угол φбудем понимать так, как это принято в тригонометрии (т.е. углы, получаемые при вращении полярной оси вокруг полюса против часовой стрелки, положительны ; при вращении полярной оси по часовой стрелке – отрицательны). Числа (полярный радиус) и φ(полярный угол) называют полярными координатами точки и записывают . Для того чтобы соответствие между точками плоскости и парами чисел было взаимно однозначным, обычно считают, что и (или .

Запишем формулы, устанавливающие связь декартовых координат с полярными. Из получим

, (12)

а также .

Решение задания 4 а).

Построим линию, заданную уравнением

, где .

Для построения указанной линии составим таблицу значений и (придавая значения, равные , ).

Ввиду четности значения для одинаковы.

На плоскости построим точки, соответствующие имеющимся в таблице парам чисел и , в выбранной нами полярной системе координат. Соединяя последовательно эти точки, получим линию, называемую кардиоидой (Рис.8).

Рис. 8

Решение задания 4 б).

Дано уравнение кривой

, .

Воспользуемся формулами (12) и запишем уравнение в полярных координатах

, или

,

,

окончательно имеем

. (13)

Составим таблицу соответствующих значений и

j

r

0,51

0,71а

0,84а

0,93а

0,98а

1а

0,98а

0,84а

0,71а

0,51а

Нанесем на плоскость точки, соответствующие найденным парам чисел. Соединив последовательно точки, получим линию, определяемую уравнением (13).

Рис. 9

Решение к заданию 5.

Пусть текущая точка искомой линии. Запишем уравнение линии в векторной форме (см. рис. №№) :

.

Перейдем к координатной форме :

,

.

Следовательно,

.

Избавимся от иррациональности, возведя обе части уравнения в квадрат,

, или

.

Преобразуем уравнение, как в задании 2 б),

, или

,

окончательно имеем

.

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке радиуса .

Рис. 10

Варианты заданий

1. Путем параллельного переноса системы координат привести уравнение гиперболы к виду , указать асимптоты, построить системы координат и данную гиперболу по уравнению .

2. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду с помощью параллельного переноса системы координат. Построить соответствующие системы координат и кривые по их каноническим уравнениям.

3. Привести уравнение кривой второго порядка путем поворота и параллельного переноса системы координат к каноническому виду. Построить соответствующие системы координат и кривую по ее каноническому уравнению.

4. а) Построить линию по ее уравнению в полярных координатах. б) Дано уравнение кривой в декартовых координатах. Следует записать это уравнение в полярной системе координат, а затем построить данную линию по ее полярному уравнению.

5. Решить текстовую задачу.

Вариант № 1

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от начала координат и точки .

Вариант № 2

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Написать уравнение линии, по которой движется точка , оставаясь вдвое дальше от оси , чем от оси .

Вариант № 3

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки и от оси .

Вариант № 4

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Найти уравнение траектории точки , которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке , чем к оси абсцисс.

Вариант № 5

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Найти уравнение траектории точки , которая в каждый момент движения находится вдвое ближе к точке , чем к точке .

Вариант № 6

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Написать уравнение геометрического места точек, сумма расстояний каждой из которых от точки и точки равна .

Вариант № 7

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Написать уравнение линии, по которой движется точка , равноудаленная от точек и .

Вариант № 8

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Найти уравнение траектории точки , которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке , чем к точке .

Вариант № 9

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Найти уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой .

Вариант № 10

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Написать уравнение траектории точки , которая при своем движении находится вдвое ближе к точке , чем к точке .

Вариант № 11

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Определить уравнение траектории точки , которая при своем движении остается вдвое ближе к точке , чем к точке .

Вариант № 12

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси и от точки .

Вариант № 13

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Найти уравнение геометрического места точек, разность расстояний каждой из которых от точки и точки равна .

Вариант № 14

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Определить уравнение траектории точки , которая движется так, что ее расстояние от точки остается вдвое меньше расстояния от точки .

Вариант № 15

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Определить уравнение траектории точки , которая движется так, что ее расстояние от точки остается вдвое меньше расстояния от прямой .

Вариант № 16

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой равно .

Вариант № 17

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Определить уравнение траектории точки , которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке , чем к точке .

Вариант № 18

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Найти уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой .

Вариант № 19

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Написать уравнение линии, по которой движется точка , оставаясь вдвое дальше от оси , чем от оси .

Вариант № 20

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Написать уравнение линии, по которой движется точка , равноудаленная от точек и .

Вариант № 21

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Найти уравнение траектории точки , которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке , чем к оси абсцисс.

Вариант № 22

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Найти уравнение траектории точки , которая в каждый момент движения находится вдвое ближе к точке , чем к точке .

Вариант № 23

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Найти уравнение траектории точки , которая в каждый момент движения находится вдвое ближе к точке , чем к точке .

Вариант № 24

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки и от оси .

Вариант № 25

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Написать уравнение геометрического места точек, сумма расстояний каждой из которых от точки и точки равна .

Вариант № 26

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Найти уравнение геометрического места точек, разность расстояний каждой из которых от точки и точки равна .

Вариант № 27

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Определить уравнение траектории точки , которая движется так, что ее расстояние от точки остается вдвое меньше расстояния от прямой .

Вариант № 28

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Определить уравнение траектории точки , которая движется так, что ее расстояние от точки остается вдвое меньше расстояния от точки .

Вариант № 29

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Написать уравнение траектории точки , которая при своем движении находится вдвое ближе к точке , чем к точке .

Вариант № 30

1.

2. а) , б)

3.

4. а) ; б)

5. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси и от точки .