Параллельное соединение резистивного и индуктивного элементов

Для цепи на рис. 21 можно записать

;

, где [См] – активная проводимость;

, где [См] – реактивная проводимость катушки индуктивности.

Векторной диаграмме токов (рис. 22) для данной цепи соответствует уравнение в комплексной форме

,

где ;

- комплексная проводимость;

.

Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 23.

Выражение комплексного сопротивления цепи на рис. 21 имеет вид:

.

· Мощность в цепи

Пусть в цепи (рис. 2.15) ток равен

Мгновенное напряжение будет сдвинуто по отношению к току на угол ψ, отличный от 0 и ±π/2. Мгновенная мощность для этой цепи примет вид: тогда:

Выразим сопротивления через модуль Z:

Подставив (14) в (13), получим:

Временные диаграммы i(t),u(t),p(t) приведены на рис. 2.16.

Мощность p(t) имеет постоянную составляющую, т.е. среднюю мощность, или активную мощность:

и переменную составляющую. Амплитуда переменной составляющей

называется полной мощностью, измеряется в вольт-амперах. Мощности P и S связаны по закону треугольника мощностей, рис. 2.17.

Третья составляющая в этом треугольнике – мощность реактивная:

Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных; полезная мощность измеряется ваттметром.

· Расчет цепей

При анализе цепей синусоидального тока широко применяются векторные диаграммы и комплексные числа. Сами по себе векторные диаграммы зачастую служат для иллюстрации результатов теоретических исследований и решения задач. Они помогают лучше понять сущность изучаемых процессов и наглядно представить соотношения и связи напряжений и токов на различных участках с параметрами цепи.
Во многих случаях векторные диаграммы, построенные предварительно по изложенным выше правилам без каких-либо вычислений, являются основой для вывода из них конкретной методики решения данной задачи. Возможны также привязка векторной диаграммы к комплексным осям, выражение векторов комплексными числами и дальнейший расчет в символической форме. Принципиального отличия между методом векторных диаграмм и символическим нет. Как мы видели раньше, за аналитическими действиями с комплексными числами кроются определенные геометрические операции с векторами.
Следует также помнить, что никакого физического содержания векторы и комплексные числа в себе не несут. Это чисто математические абстракции, необходимые для анализа.
Символический метод базируется на законах Ома и Кирхгофа, которые в символической форме записываются точно так же, как в цепях постоянного тока. Поэтому все изложенные ранее методы расчета цепей постоянного тока, вытекающие из этих законов, применимы и для расчета в символической форме цепей синусоидального тока.

Пример.

Дано:

Определить:	1) полное комплексное сопротивление цепи ;
2) токи
Рис. 2

Решение:

1. .

2. .

3.

.

4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:

.

Тогда

.

5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то

6. .

7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме

или после подстановки численных значений параметров схемы

· Резонансные явления (резонанс напряжений, резонанс токов)

Реактивные сопротивления и проводимость являются частотно-зависимыми величинами. Следовательно, при последовательном или параллельном соединении элементов L и C возможна на какой-то частоте полная компенсация реактивных сопротивлений или проводимостей. Режим, при котором наступает компенсация, называют резонансом. При резонансе входное сопротивление цепи становится активным, входное напряжение совпадает по фазе с входным током, а полная мощность будет активной. Угловая частота, ω₀, при которой наступает резонанс, называется резонансной или собственной угловой частотой цепи. Различают две разновидности резонанса: резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений.

Может возникнуть в цепи с последовательным соединением L и C рис. 2.20а.

Для этой цепи запишем:

Условие резонанса:

откуда резонансная частота . Настройку цепи в резонанс, изменение параметров цепи при частотах, отличных от резонансной можно увидеть, если построить частотные характеристики сопротивлений, тока в цепи и напряжений на r,L,C. На рис. 2.20б, в, г приведены частотные характеристики реактивных сопротивлений

суммарного реактивного сопротивления:

модуля полного сопротивления:

модуля входного тока:

а также АЧХ напряжений:

По графику j⋅x_Σ(ω) определена резонансная частота ω₀, по графику Z(ω) можно увидеть, что сопротивление цепи при резонансе минимально и равно активному сопротивлению, по графику I(ω) - что ток в цепи при резонансе максимален. Графики U_r(ω), U_L(ω), U_C(ω) имеют ярко выраженный избирательный характер, т.е. имеют максимальные значения на резонансной частоте или вблизи нее. Можно также отметить, что напряжения U_C, U_L при резонансе могут превышать значение входного напряжения. Это хорошо иллюстрируется с помощью векторных диаграмм напряжения приведенных на рис.2.20д, е, ж при частотах ω≤ω₀, ω=ω₀ и ω≥ω₀. Обратите также внимание на значения угла φ на этих частотах и сопоставьте эти значения с характером реактивных сопротивлений на соответствующих частотах. При частотах ω≤ω₀, реактивное сопротивление носит емкостной характер и cos(φ)≤0.

Резонанс токов.

Может возникнуть в цепи с параллельным соединением L и C рис. 2.21а.

Для этой цепи запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:

Компенсация реактивных проводимостей и реактивных токов:

произойдет на резонансной частоте

Для анализа явления резонанса токов построим частотные характеристики реактивных проводимостей, рис.2.21б, модуля полной проводимости:

модуль полного тока:

Здесь отмечена резонансная частота, полная проводимость цепи при резонансе минимальна и полный ток минимален. Векторные диаграммы токов, построенные для частот ω≤ω₀, ω=ω₀ и ω≥ω₀ рис. 2.21е, д, ж, позволяют убедиться, что токи в катушке и конденсаторе могут значительно превышать полный ток.