Непрерывные случайные величины
Под ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ случайной величины Х понимают функцию F(х), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х:
F(х)=Р(Х<=х),
где х — произвольное действительное число.
Функция распределения Р(х) имеет следующие свойства:
1) F(х1)<= F(х2), если x1<=x2
2) 0<=F(х)<=1;
4)
НЕПРЕРЫВНОЙ случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток и для которой существует функция f(х)=F'(х).
Функция f(х) называется ПЛОТНОСТЬЮ ВЕРОЯТНОСТИ и обладает следующими свойствами:
1) f(x)>=0;
2) ;
3);
4) .
Для непрерывной величины Х вероятность того, что Х примет одно определённое значение х, равна нулю:
Р(X=x)=0.
График плотности f(х) называется КРИВОЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х вычисляется по формуле
где f(х) — плотность вероятности.
Дисперсия непрерывной случайной величины Х выражается формулами
ИЛИ
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х называется НОРМАЛЬНЫМ, если плотность вероятности имеет вид
где а — математическое ожидание,— среднее квадратическое отклонение X.
f(х) — функция чётная, т.е. f{х) = f(-х). Вероятность того, что нормально распределённая случайная величина Х примет значение из интервала , вычисляется по формуле
,
где —интеграл Лапласа.
Ф(x) – нечетная функция, т.е. Ф(-х)=-Ф(x). Имеются таблицы значений f(x), Ф(x) для различных значений x.
Некоторые непрерывные распределения, кривые распределений, основные числовые характеристики распределений Пирсона, Стьюдента и Фишера (без вывода формул" для плотностей этих распределений).
Распределение .
Определение. Пусть - независимые случайные величины, нормально распределенные с параметрами (0,1). Другими словами,
Тогда случайная величина
имеет распределение
с n степенями свободы.
Плотность каждой случайной величины имеет вид
.
Распределение Стьюдента.
Пусть - независимые случайные величины, нормально распределенные с параметрами (0,1). В статистике часто возникает случайная величина
с распределением Стьюдента с n степенями свободы. Ее плотность распределения имеет вид
,
.
Распределение Фишера.
Пусть - независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами (0,1).
Определение. Случайная величина вида
имеет распределение Фишера с параметрами p и q.
Плотность распределения:
, x
0.
График плотности f(х) называется КРИВОЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
№16. Неравенство Чебышева(с док-вом) Пусть случайная величина Х имеет конечные МХ и DХ. Тогда для любого ε>0 справедливо неравенство
P{│X-MX│> ε} Доказательство Неравенство Чебышева справедливо как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, причем доказательства для обоих случаев по существу совпадают. Мы ограничимся случаем, когда случайная величина дискретна. По определению имеем
DX= . Так как в сумме все слагаемые неотрицательны, она может лишь уменьшится , если мы отбросим часть слагаемых,поэтому
DX .Теперь суммируются лишь такие слагаемые, у которых
│ │>ε,следовательно, при замене (
)
на
сумма может лишь уменьшится,значит
DX что и т.д.
Закон больших чисел(с док-вом) Пусть S -число успехов в серии из n независимых испытаний в схеме Бернулли с вероятностью успеха p, 0<p<1. Тогда при любом t>0 справедливо равенство
Доказательство Как отмечалось ранее, MS
=np, DS
=npq. Имеем
. Применим неравенство Чебышева, положив в нем Х=S
и
что и т.д.
Закон больших чисел утверждает,что при больших n и при сколь угодно малых ε разность между частотой успеха S /n и вероятностью успеха в каждом испытании p по модулю меньше ε с вероятностью, близкой к 1.
Пример В большом городе в год рождается 20000 детей. Считая вероятность рождения мальчика p=0,5 найти такое число t, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать,что число рожденных мальчиков превышает число девочек не более чем на t.
Решение. Решаем задачу по схеме Бернулли с n=20000,p=0,5.Пусть S -число рождений мальчиков, тогда (n- S
)-число рождений девочек;разность между ними равна(2 S
-n).Найдем такое t, чтобы P{|2 S
-n |>t}
. Воспользуемся неравенством Чебышева:
. Выбираем t из условия
№17. 1) Теорема Пуассона (с док-вом) Пусть Sn-число успехов в серии n независимых испытаний Бернулли. Если n→∞ и p→0 так, что np→λ, то для любого фиксированного m=0,1,2…
P{Sn=m}→
Доказательство Справедливы тождества P{Sn=m}=
(1-p)
=
(1-1/n)(1-2/n)…(1-
)(1-p)
Теперь перейдем к пределу при n→∞ с учетом равенств
=
,
(1-1/n)(1-2/n)…(1-
)=1,
(1-p)
=e
что и т.д.
2) Теоремы Муавра-Лапласа(без док-ва)
Локальная теорема Муавра-Лапласа Если в схеме Бернулли npq→∞, то для любого С>0 равномерно по всем │х│<=C вида x= , где m-целые неотрицательные числа, P{
}=
(1+o(1)).
Интегральная теорема Муавра-Лапласа Пусть в схеме Бернулли npq . Тогда для любых -∞<A<B<∞ справедливо равенство
P{A }
Центральная предельная теорема. Если случайные величины Х1,Х2,…Хт независимы, одинаково распределены и имеют конечные математические ожидания МХ =α и дисперсии DX
,то P{
}
=Ф(х).
Ошибки измерения При измерении некоторой величины α мы получаем приближенное значение Х. Сделанная ошибка δ=Х-α может быть представлена в виде суммы двух ошибок δ=(Х-МХ)+(МХ- α). Хорошие методы измерения не должны иметь систематической ошибки: МХ= α. Случайная ошибка имеет нулевое математическое ожидание Мδ=0. Пусть Dδ=σ .Для уменьшения ошибки проводится n независимых испытаний, и за оценку α берут среднее арифметическое этих измерений
=
. Вычислим , какая при этом допускается погрешность. По центральной предельной теореме
P{| - α |
}=P{|
|
}
при n→∞.
№18. Простейший поток событий Рассмотрим событие, наступившее в случайный момент времени(поток событий). Пример: поступление вызовов на АТС,прибытие самолетов в аэропорт и т.д..Основные св-ва:1) стационарность-вер-ть появления К события на любом промежутке времени t зависит только от К и t и не зависит от начала потока,при этом различные промежутки временине пересекаются. Вывод:если поток событий обладает св-вом стационарности,то вер-сть появления К события за t зависит только от К и t.
2) св-во отсутствия последействия:вер-ть появления К событий на любом промежутке времени зависит от того, что появилось или нет событие в в предш. момент времени,т.е. предыстория потока не сказ. На вероятности появления события в ближайшем будущем. Вывод:если поток обладает св-вом 2), то имеет место взаимная нез-ть появл. того или иного числа событий в предш. момент времени.
3) св-во ординарности:появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно, т.е. вероятность появления более одного события пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события. Вывод: если поток обладает св-вом 3),то за беск. Малый промежуток времени может появится не более 1 события. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Простейшим (пуассоновским) потоком событий называют поток событий,обладающий св-вами 1-3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Интенсивность потока : λ наз. среднее число событий, которое появляется в единицу времени. Если постоянная интенсивность известна, то вер-ть появления К событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона:
Случайный процесс Набор случ. величин Х(t) опред. на (Ω,А) называют случайной функцией. Если параметр t играет роль времени, т.е. t принадлежит R , то такую случайную функцию называют случайным процессом. Если же t принадлежит {0,+-1,+-2…}, то случайную функцию называют случайной последовательностью.
Цепи Маркова —последовательность испытаний, в любом из которых появление только одного из К несовмесн. событий А1,А2,…Ак ,причем усл. вер-ть pij(S)того,что в S-ом испытании наступит событие Аj(j=1-k) при условии,что в (S-1)-м испытании было Aj(i=1-k) не зав. от рез-тов предшеств. испытания.
ЦМ являются обобщающим понятием независимых испытаний.