Следствие 2

Пусть функции f(x) и g(x) такие, что х (a;b).

Тогда функция f(x)-g(x)=const)

Теорема Коши. (б.д.)Пусть имеются две функции f(x) и g(x), удовлетворяющие условиям:

1) f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b];

2) f(x) и g(x) имеют конечные производные и хотя бы в интервале (a;b);

3) .

Тогда между точками a и b найдется по крайней мере одна точка с такая, в которой имеет место равенство: - формула Коши.

Доказательство. Установим сначала, что знаменатель не равен нулю, т.е. g(a)≠g(b). Действительно, если предположить, что g(a)=g(b), то функция g(x) будет удовлетворять условиям теоремы Ролля. Тогда найдется хотя бы одна точка такая, что =0. А это невозможно, т.к. по условию .

Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=f(x)-f(a)- , которая удовлетворяет условиям теоремы Ролля, а именно 1) определена и непрерывна на отрезке [a;b], т.к. f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b];

2) имеет конечную производную хотя бы в интервале (a;b), .т.к. в (a;b) существуют конечные производные и ;

3) F(а)=f(а)-f(a)- =0=F(b)=f(b)-f(a)- =0

Следовательно, обязательно найдется хотя бы одна точка сÎ(a;b): , т.е.

Þ ч.т.д.

Замечание 1. Формула конечных приращений Лагранжа является частным случаем формулы Коши при g(x)=x, xÎ[a,b].

Замечание 2. Как формула Коши, так и формула Лагранжа, имеет место не только когда a<b, но и в случае, когда a>b