Теоретические расчеты параметров и характеристик простейших цепей

Теоретические сведения

Вне зависимости от состава и схемы электрической цепи её свойства описываются рядом комплексных частотных характеристик (КЧХ). Эти характеристики изображают зависимости тех или иных свойств цепи от частоты. Комплексная частотная характеристика цепи – это отношение комплексного изображения отклика к комплексному изображению воздействия. Поясним это определение, рассмотрев обобщенный четырехполюсник, которым может быть представлена любая цепь (рис. 7).

Четырехполюсник обладает двумя парами зажимов:

входные зажимы 1–1;

выходные зажимы 2–2.

Рис. 7. Эквивалентная схема обобщенного четырехполюсника

Учтем, что понятие входных и выходных зажимов условно и определяется тем, как цепь включена в некую более общую схему.

На входе четырехполюсника со стороны зажимов 1–1 действуют входное напряжение, имеющее комплексную амплитуду , и течет входной ток, имеющий комплексную амплитуду . На выходе четырехполюсника со стороны зажимов 2–2 действует выходное комплексное напряжение и протекает комплексный ток . Зная величины комплексных амплитуд напряжений и токов на входе и и на выходе и , можно описать все свойства четырехполюсника в виде комплексных величин. Эти величины, меняющиеся с изменением частоты, и будут называться комплексными частотными характеристиками (КЧХ).

В общем случае КЧХ зависят не только от самой цепи, но и от режима её работы, то есть от сопротивления генератора и нагрузки, подключенных ко входу и выходу цепи. Это обусловлено тем, что подключение генератора и нагрузки, имеющих собственные сопротивления, меняет токи и напряжения на соответствующих зажимах четырехполюсника.

Какими КЧХ может обладать в самом общем случае обобщенный четырехполюсник, показанный на рис. 7 ? Таких характеристик существует несколько больших групп. К ним относятся:

группа передаточных характеристик (те или иные характеристики, показывающие передаточные свойства четырехполюсника, или отношения тех или иных величин со входа на выход или с выхода на вход);

группа входных характеристик (характеристики, показывающие свойства четырехполюсника относительно его входных клемм);

группа выходных характеристик (характеристики, показывающие свойства четырехполюсника относительно его выходных клемм).

К группе передаточных характеристик относят следующие наиболее важные комплексные частотные характеристики четырехполюсника:

зависимость от частоты комплексного коэффициента передачи напряжения со входа на выход (он же – коэффициент прямой передачи по напряжению):

, (1)

где – напряжение на выходных клеммах 2–2 четырехполюсника; – напряжение на входных клеммах 1–1 четырехполюсника;

зависимость от частоты комплексного коэффициента передачи напряжения с выхода на вход (он же – коэффициент обратной передачи по напряжению):

, (2)

зависимость от частоты комплексного коэффициента передачи по току со входа на выход (он же – коэффициент прямой передачи по току):

, (3)

где – входной ток четырехполюсника (со стороны клемм 1–1); – выходной ток четырехполюсника (со стороны клемм 2–2);

зависимость от частоты комплексного коэффициента передачи по току с выхода на вход (он же – коэффициент обратной передачи по току):

, (4)

зависимость от частоты прямого комплексного передаточного сопротивления (при передаче со входа на выход) , в электротехнике и радиотехнике чаще обозначается как :

, (5)

зависимость от частоты обратного комплексного передаточного сопротивления (при передаче с выхода на вход) , в электротехнике и радиотехнике чаще обозначается как :

, (6)

зависимость от частоты прямой комплексной передаточной проводимости (при передаче со входа на выход) , в электротехнике и радиотехнике чаще обозначается как :

, (7)

зависимость от частоты обратной передаточной комплексной проводимости (при передаче с выхода на вход) , в электротехнике и радиотехнике чаще обозначается как :

, (8)

Ко входным характеристикам относят следующие наиболее важные комплексные частотные характеристики четырехполюсника:

– КЧХ входного сопротивления, чаще обозначаемая в электротехнике и радиотехнике как :

, (9)

– КЧХ входной проводимости, в электротехнике и радиотехнике чаще обозначается как ;

. (10)

К третьей группе параметров четырехполюсника (выходным характеристикам) относят следующие наиболее важные комплексные частотные характеристики:

– КЧХ выходного сопротивления, чаще обозначаемая в электротехнике и радиотехнике как :

, (11)

– КЧХ выходной проводимости, в электротехнике и радиотехнике чаще обозначается как :

. (12)

Как показывают все приведенные выше примеры, каждая КЧХ математически представляет собой дробь, а физически – отношение физической величины, записанной в числителе, к физической величине, записанной в знаменателе. В соответствии с определением комплексной частотной характеристики, числитель дроби (отношения), определяющего эту КЧХ, содержит комплексную величину, называемую откликом, а знаменатель – комплексную величину, называемую воздействием. Определения «отклик» и «воздействие» являются условными, не зависящими от места подключения и типа генератора, питающего данную цепь, а зависят лишь от той характеристики цепи, которая подлежит определению. Например, если задано вычислить коэффициент прямого усиления по напряжению, то это будет КЧХ, определяемая выражением (1): – здесь откликом условно считается величина , а воздействием – величина .

Если же, например, задано определить коэффициент обратного усиления по напряжению (коэффициент обратной передачи), то это будет КЧХ, определяемая выражением (2): – здесь откликом условно считают величину , а воздействием величину вне зависимости от типа генератора, питающего цепь, и места его расположения в цепи.

Изложенные выше определения устанавливают общепринятые в теории цепей понятия и являются формальной интерпретацией реальных физических характеристик цепей. Что же представляет собой та или иная комплексная частотная характеристика по существу, каков её физический смысл ? Чтобы показать физический смысл КЧХ, представим её как комплексное число в алгебраической или показательной форме. Например, функция входного сопротивления цепи (9) в алгебраической форме записи комплексного числа будет иметь вид

, (13)

где – действительная часть комплексного входного сопротивления ; – мнимая часть комплексного входного сопротивления ;

j = – мнимая единица. В показательной форме записи комплексного числа то же выражение (9) для функции входного сопротивления цепи:

, (14)

где модуль комплексного входного сопротивления ; аргумент комплексного входного сопротивления . Их значения можно найти как длину вектора на комплексной плоскости (см. рис. 8):

, (15)

и как угол отклонения этого вектора от горизонтальной оси:

. (16)

Таким образом, как видно из рис. 8, вектор расположен на комплексной плоскости и имеет модуль (длину) и фазу (угол отклонения от горизонтальной оси) . При увеличении частоты или времени вектор вращается в положительном направлении (против часовой стрелки) со скоростью, определяемой оператором вращения .

С точки зрения частотных характеристик, показанный на рис. 8, модуль КЧХ есть амплитудно-частотная характеристика цепи (АЧХ), а аргумент КЧХ есть фазочастотная характеристика (ФЧХ). При практических измерениях в цепях амплитуду можно измерить вольтметром, а фазу – фазометром. Кроме того, фазу можно рассчитать, используя измеренные значения амплитуд напряжений на различных элементах цепи.

Рис. 8. Изображение вектора на комплексной плоскости: – модуль вектора ; фаза вектора

Как правило, понимание физического смысла амплитудно-частотной характеристики сложностей не вызывает, так как АЧХ есть амплитуда измеряемого или рассчитываемого параметра. Несколько сложнее понимание физического смысла фазочастотной характеристики.

ФЧХ есть частотная зависимость сдвига (разницы) фаз между величиной, принятой за отклик в КЧХ и величиной, принятой за воздействие в КЧХ.

Например, в приведенной выше КЧХ входного сопротивления можно определить физический смысл фазочастотной характеристики, если представить это выражение в показательной форме:

. (17)

Тогда видно, что фазочастотная характеристика есть частотная зависимость разности фаз числителя отношения (17) и знаменателя этого отношения. В нашем примере это разница фаз входного напряжения и входного тока или фаза напряжения на входе цепи минус фаза тока на входе цепи.

Например, для последовательной R–L-цепи (см. рис. 9) выражение для КЧХ входного сопротивления выглядит так:

, (18)

где – круговая частота, или ; – сопротивление потерь в цепи, Ом; – индуктивность, Гн.

Рис. 9. Последовательная R–L-цепь

АЧХ этой цепи (модуль КЧХ):

. (19)

ФЧХ этой цепи (фаза КЧХ):

. (20)

Тогда качественный вид АЧХ и ФЧХ входного сопротивления последовательной R–L-цепи примет вид, показанный на рис. 10 а, б соответственно.

Следуя приведенным выше рассуждениям, можно по аналогии представить качественно ход кривых АЧХ и ФЧХ других простых цепей.

Кроме подхода, связанного с определением комплексных частотных характеристик цепи, анализ цепи можно провести путем построения её векторных диаграмм.

а б

Рис. 10. Качественный вид АЧХ (а) и ФЧХ (б) входного сопротивления последовательной R–L-цепи

Векторная диаграмма цепи – это диаграмма, на которой токи и напряжения на элементах цепи изображены в виде векторов, длины (модули) которых равны соответствующим амплитудам токов или напряжений на элементах цепи, а отклонения векторов от горизонтальной оси равны сдвигам фаз токов или напряжений элементов цепи относительно величины тока или напряжения, взятого за ось векторной диаграммы. За ось (основу) векторной диаграммы цепи берется вектор тока или напряжения, являющегося общим для данной цепи (в последовательной цепи – ток цепи, в параллельной – напряжение на элементах цепи).

Рассмотрим построение векторной диаграммы (рис. 11) на примере последовательной R–L-цепи, показанной ранее на рис.10. Основой (осью) векторной диаграммы примем вектор тока , так как цепь последовательная и ток является одинаковым (общим) для всех элементов цепи в данный момент времени на данной частоте. Момент времени, для которого строится векторная диаграмма, может быть выбран произвольно, но удобнее всего взять момент времени , чтобы ось векторной диаграммы располагалась горизонтально.

Поскольку ток и напряжение на сопротивлении связаны законом Ома, сдвига фаз между ними нет и значение падения напряжения на активном сопротивлении (например, полученное из экспериментов) откладывают вдоль оси тока в принятом масштабе напряжений. Падение напряжения на индуктивности откладывают от конца вектора в виде вектора , опережающего вектор на (перпендикулярно вверх), так как напряжение на индуктивности опережает ток на эту величину. Соединив начало координат с концом вектора , получим значения напряжения на входе цепи и сдвига фаз между напряжением и током в цепи.

Рис. 11. Векторная диаграмма токов и напряжений (треугольник напряжений) последовательной R–L-цепи

Тогда из треугольника напряжений (векторной диаграммы напряжений), сдвиг фаз между током и входным напряжением в цепи:

. (21)

От треугольника напряжений можно перейти к треугольнику сопротивлений последовательной цепи. Для этого все элементы треугольника напряжений следует разделить на величину тока , после чего вместо векторов напряжений , , (рис. 11) окажутся векторы сопротивлений , , (рис. 12). Отметим, что с увеличением частоты векторные диаграммы цепи вращаются против часовой стрелки, при этом векторы и остаются постоянными, если цепь запитана от генератора ЭДС. Из векторных диаграмм видно, что величины векторов , , , , , связаны между собой так:

, (22)

, (23)

. (24)

Полученные путем векторного анализа зависимости для модуля входного сопротивления последовательной R–L-цепи (23) совпадают с аналогичными результатами для АЧХ входного сопротивления, полученными комплексным исчислением через КЧХ для этой схемы (19). Тот же вывод может быть сделан для ФЧХ входного сопротивления – выражения (24) и (20) соответственно.

Заметим, что частотная функция входного сопротивления является основной характеристикой для последовательных цепей, так как позволяет определить ток в цепи, а по его величине – напряжение на всех элементах схемы.

Рис. 12. Векторная диаграмма сопротивлений (треугольник сопротивлений) последовательной R–L-цепи

При анализе реальных цепей следует учитывать, что активное сопротивление , фигурирующее в эквивалентной схеме рис. 9, реально складывается из ряда сопротивлений, физически находящихся в различных элементах цепи. Это можно пояснить схемой реальной последовательной R–L-цепи, запитанной от генератора ЭДС (рис. 13).

Например, сопротивление потерь катушки индуктивности не может быть физически отделено от самой катушки, и при измерении падения напряжения на катушке невозможно разделить падение напряжения на идеальной индуктивности и падение напряжения на сопротивлении потерь в проводах катушки. Сопротивление генератора также не может быть физически отделено от реального генератора переменного напряжения, представляющего последовательное соединение идеального источника ЭДС и сопротивления . Для того чтобы уменьшить влияние и на характеристики цепи, следует выбрать сопротивление нагрузки существенно большим суммарной величины . Для моделирования идеального генератора ЭДС на входе цепи величину следует выбирать наименьшей, а действующее значение напряжения на входе цепи поддерживать постоянным в диапазоне рабочих частот схемы.

Рис. 13. Эквивалентная электрическая схема

последовательной R–L-цепи с учетом сопротивления генератора _Г, сопротивления потерь индуктивности , сопротивления нагрузки _Н

Таким образом, анализ цепей на гармоническом токе возможен двумя основными путями: с помощью комплексного исчисления (через комплексные частотные характеристики цепи) либо без использования такового, с помощью векторных диаграмм. Первый способ удобен для расчетных применений, второй – для случаев, когда в нашем расположении есть ряд экспериментальных данных. Кроме того, векторное представление наиболее наглядно отображает физический смысл происходящих в цепи процессов и является существенным дополнением к комплексному исчислению. К сожалению, векторный анализ имеет ограниченные возможности: его использование просто, наглядно и эффективно лишь для простых неразветвленных цепей с небольшим числом элементов. Несколько более сложным для восприятия является анализ схем с параллельным включением элементов. Проанализируем для примера цепь с параллельным включением R и L (рис. 14).

В этой цепи:

– идеальный источник тока;

, – идеальные индуктивность и сопротивление;

, , – токи в неразветвленной части цепи, в ветвях с индуктивностью и сопротивлением соответственно;

– напряжение на схеме, действующее значение которого равно .

Рис. 14. Электрическая эквивалентная схема цепи с параллельно включенными и при питании ее от источника тока

Проведем анализ цепи с помощью векторной диаграммы. Общим параметром для всех элементов цепи является напряжение на цепи , поэтому его следует взять за ось при построении векторной диаграммы (рис. 15).

Рис. 15. Векторная диаграмма токов и напряжений (треугольник токов) параллельной – -цепи при питании ее от источника тока

Векторная диаграмма (треугольник токов) строится так: вектор тока резистора совпадает по фазе с напряжением и откладывается по оси напряжений; вектор тока индуктивности , отстает от напряжения на 90⁰ и откладывается вниз перпендикулярно оси напряжений от конца вектора тока резистора ; вектор суммарного тока замыкает треугольник и равен току источника тока.

Тогда угол сдвига фаз в цепи

. (25)

Модуль общего тока цепи:

. (26)

От треугольника токов параллельной R–L-цепи можно перейти к треугольнику проводимостей, поделив все составляющие треугольника токов на общий для элементов цепи параметр – напряжение (рис. 16).

Рис. 16. Векторная диаграмма проводимостей параллельной – -цепи

(треугольник проводимостей)

Тогда АЧХ входной проводимости цепи

. (27)

Для параллельных цепей наиболее удобной характеристикой цепи является проводимость, так как позволяет при известном токе источника найти напряжение на цепи и далее токи в ветвях цепи. ФЧХ входной проводимости

. (28)

Решение этой же задачи через КЧХ путем проведения комплексного исчисления выглядит следующим образом. Комплексная частотная характеристика входной проводимости

(29)

или

. (30)

Обозначим

, , (31)

где – проводимость потерь в цепи, а – реактивная проводимость индуктивности, тогда

. (32)

Амплитудно-частотная характеристика входной проводимости

. (33)

Фазочастотная характеристика входной проводимости

. (34)

Как видно из сравнения выражений (28) и (34), результат анализа цепи через КЧХ совпадает с результатом анализа цепи через векторные диаграммы. Качественный вид кривых АЧХ и ФЧХ входной проводимости параллельной R–L-цепи показан на рис. 16 а, б.

а б

Рис.16. Качественный вид кривых АЧХ (а) и ФЧХ (б) входной проводимости параллельной R–L-цепи

При исследовании параллельных цепей, питаемых от генератора тока, важным является реализация самих генераторов тока. Наиболее просто генератор тока реализуют, используя имеющийся генератор ЭДС, путем подключения к нему активного сопротивления, величина которого намного превышает величину входного сопротивления исследуемой цепи. Эту цель реализует, например, наличие в генераторе Г3-109 (рис. 2) возможности снятии выходного напряжения с клемм 11, 12 через переключатель величины выходного сопротивления генератора 10, позволяющий устанавливать ступенчато выходное сопротивление генератора величиной 5, 50, 600 или 5000 Ом.

Теоретические расчеты параметров и характеристик простейших цепей

Теоретические расчеты параметров и характеристик простейших R–L-и R–C-цепей проводятся самостоятельно вне аудитории и должны быть выполнены до проведения экспериментальных исследований.