Основные правила дифференцирования. Определение производной
Определение производной
Задача о мгновенной скорости.Рассмотрим материальное тело движущееся по оси Ох. Предположим, что нам известен закон движения – функция , задающая координату точки в момент времени
Фиксируем какой-либо момент времени
. Поставим задачу об определении и вычислении мгновенной скорости
в момент времени
. Придадим приращение
времени и найдем соответствующее ему приращение координаты
. Тогда отношение приращения координаты к приращению времени задает среднюю скорость на временном участке
:
(1)
Мгновенную скорость определим как предел средней скорости при :
Пример. Закон падения тела с высоты без учета сопротивления воздуха задается как (
-- ускорение свободного падения). Вычислим скорость тела после 3-х секунд падения:
Задача о касательной.Пусть на плоскости или в пространстве задана некоторая кривая γ и точка P на ней. Требуется определить понятие касательной к γ в точке P. Выберем точку
на кривой
, не совпадающую с точкой
. Проведем через точки
и
прямую
, называемую секущей. Касательной в точке P к кривой γ назовем предельное положение секущих
, в случае, когда точка Q приближается к точке P, оставаясь на кривой γ. Пусть теперь γ -- график функции
, и точка P имеет координаты
. Рассмотрим точку
. Обозначим
и назовем эти величины приращением аргумента и приращением функции соответственно. Тогда угловой коэффициент секущей
будет равен
и ее уравнение будет
Если , то
, причем
и секущая (3) переходит в касательную с угловым коэффициентом
Пример.Найдем касательную к кубической параболе в точке
. Имеем
Отсюда получаем ответ: или
. Это и есть уравнение искомой касательной.
Определение. Предел
называется производной функции в точке
.
Функция называется дифференцируемой на интервале, если она имеет производную в каждой точке этого интервала.
Можно определить правую производную в точке , рассматривая в (5) правый предел
. Такая производная обозначается
. Аналогично определяется левая производная
Производная
существует тогда и только тогда существуют и совпадают между собой односторонние производные. Односторонние производные удобно использовать, когда мы говорим о дифференцируемости функции
на отрезке
. Тогда подразумевается, что
имеет (двустороннюю) производную в каждой внутренней точке
, а также имеет односторонние производные
и
.
Итак: механический смысл производной -- мгновенная скорость. Геометрический смысл производной -- тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке
.
Уравнение касательной к графику функции в точке
имеет вид:
а уравнение нормали имеет вид:
в предположении . Если же
, то касательная горизонтальна и задается уравнением
, а нормаль перпендикулярна оси Ох и задается уравнением
.
Примеры. 1.
2. . Действительно,
3. . Действительно,
4. Функция в нуле непрерывна, но не имеет производной. Правая производная в нуле равна 1, а левая равна
.
Предложение 1.Дифференцируемая функция непрерывна.
Действительно, из соотношения вытекает, что
отличается от
на бесконечно малую величину
и
Это и означает непрерывность функции в точке
. □
Заметим, что непрерывная функция не обязательно будет дифференцируемой, см. выше пример функции в точке
.
Основные правила дифференцирования.
Д1. Производная константной функции равна нулю: (C)'=0.
Д2. Производная суммы равна сумме производных: .
Д3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .
Д4. (правило Лейбница—производная произведения) .
Доказательство.
Здесь мы применили правила предел суммы и предел произведения, а также заменили на
в виду непрерывности функции
(см. предложение выше)
Д5. ; в частности
.
Докажем утверждение «в частности».
Общий случай следует из этого частного случая в виду правила Лейбница
Д6. (производная сложной функции)
Обоснуем эту формулу. Придадим приращение переменной
. Тогда
получит приращение
Следовательно,
получит приращение
Далее:
Замена на
возможна в силу непрерывности дифференцируемой функции
.
Д7. ( производная обратной функции}) Пусть -- две взаимно обратные функции. Тогда
.
Действительно, из дифференцированием по
следует соотношение
, откуда получаем результат.
Таблица производных
Функция | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Производная | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Функция | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Производная | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Здесь -- гиперболические синус и косинус соответственно. Обоснуем формулу производной синуса:
Здесь мы воспользовались эквивалентностью а также непрерывностью функции
. Вычислим производную косинуса:
Здесь мы воспользовались формулой производная сложной функции, введя промежуточный аргумент и учитывая
, а
Производная тангенса:
Производная экспоненты:
Производная логарифма считается с применением правила «производная обратной функции»