Вопрос 22.3. Уравнения в полных дифференциалах

Определение 22.3. Дифференциальное уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция , что

.

Из определения следует, что .

Так как , то ‑ это условие, как можно показать, является необходимым и достаточным условием существования функции .

Из при фиксированном y, получаем

.

Подставляя в , получаем

или

.

Так как , то функция зависит только от y: . Отсюда . Решая это уравнение, найдем , тогда

,

Но , тогда получаем полный интеграл, из которого находим .

Пример 22.4. , это уравнение в полных дифференциалах, так как

.

Интегрируя при фиксированном y, получим

.

Подставляя в , получим

.

Следовательно, .

Конец примера.

ЛЕКЦИЯ № 23. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Вопрос 23.1. Уравнения вида .

Пусть есть решение уравнения , тогда интегрируя, получим

,

где ‑ одна из первообразных для .

Итак, удовлетворяет новому дифференциальному уравнению, порядок которого на единицу ниже. Правая часть уравнения вновь есть функция только x, тогда интегрируя 2-й раз, получим:

.

Повторяя это еще (n-2) раза получим

.

‑ решение уравнения .

Пример 23.1. .

Конец примера.

Пример 23.2. Движение материальной точки под действием постоянной силы.

.

‑ постоянное ускорение, поэтому , интегрируя, получим

,

, тогда

.

Вопрос 23.2. Уравнения вида .

Это уравнения, которые явно не содержат . Обозначим , тогда

,

то есть относительно получаем уравнение

,

порядок которого на k меньше исходного уравнения.

ПРИМЕР 23.3. .

Пусть , тогда и подставляя в уравнение, получаем ‑ линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Решая его, найдем

или

Тогда, интегрируя дважды, получим

,

.

Конец примера.

Вопрос 23.3. Уравнение вида .

Это уравнение не содержит явно независимой переменной x и допускает понижение порядка подстановкой , тогда

Каждый раз получаем выражение, которое имеет порядок производной на единицу ниже.

Пример 23.3. ‑ уравнение математического маятника.

или разделяя переменные

.

Тогда , разделяя переменные, получим

.

Откуда

или

.

Конец примера.

Вопрос 23.4. Уравнения вида .

Это уравнение интегрированием сводится к уравнению (n-1) порядка

.

Пример 23.4. .

, интегрируя правую и левую часть, получим

,

.

Конец примера.

Вопрос 23.5. Уравнения вида , где - однородная функция k-го порядка относительно .

По определению однородная функция k-го порядка удовлетворяет соотношению

.

Для таких уравнений делают подстановку . Тогда

,

и т.д. и сокращают уравнение на . Порядок уравнения понижается.

Пример 23.5. .

Подставляя , получим

или

.

Тогда

или после разделения переменных

Отсюда, после переобозначения констант и

.

Конец примера.

ЛЕКЦИЯ № 24. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.