Интегрирование по частям. (u, v непрерывно дифференцируемы на интервале )
или
(u, v непрерывно дифференцируемы на интервале
).
Замена переменного (интегрирование подстановкой)
Если функция x = x(u) непрерывно дифференцируема на интервале
, а функция f(x) непрерывна на интервале
, где m - точная нижняя, а M - точная верхняя граница функции x(u) на интервале
, то
8.Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция f ( x ), тогда для любого x [ a, b ] существует функция:
задаваемая интегралом с переменным верхним пределом, стоящим в правой части равенства.
На интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла.
П р и м е р . | Переменная сила на прямолинейном пути изменяется по закону: f ( x ) = 6x2 + 5 при x ![]() |
Из определения интеграла с переменным верхним пределом - функции F(x) и известных свойств интеграла следует, что при x [ a, b ]
F' ( x ) = f ( x ) .
Интеграл с переменным верхним пределом.Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t, а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f(t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и .
Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.
Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда , где c - точка, лежащая между x и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом (c- точка, расположенная между x и ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.
Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.
9. Несобственные интегралы.
Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
· Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
· Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].