Диференціал функції. Диференціал складної функції. Основні властивості диференціала.

Означення похідної фунуції. Основні теореми про похідні. Таблиця похідних.

Похідна́ — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.

Диференціювання неявної функції.

Функція називається неявною, якщо вона задається рівнянням

нерозв’язним щодо . Знайдемо частинні похідні і неявної функції , заданої рівнянням (2.11). Для цього, підставивши в рівняння замість функцію , отримаємо тотожність Частинні похідні по і по функції, тотожно рівній нулю, також рівні нулю:

( – вважаємо сталою)

звідки і

Зауваження.

а) Рівняння вигляду не завжди визначає одну змінну як неявну функцію двох інших. Так, рівняння визначає функції або , визначені в крузі , визначену в півколі при і т. д., а рівняння не визначає ніякої функції.

Має місце теорема існування неявної функції двох змінних:

Якщо функція і її похідні визначені і безперервні в деякій околі точки , причому , a , то існує окіл точки , в якій рівняння (2.11) визначає єдину функцію , неперервну і диференційовану в околі точки і таку, що .

б) Неявна функція однієї змінної задається рівнянням . Можна показати, що у випадку, якщо виконуються умови існування неявної функції однієї змінної (є теорема, аналогічна вищезгаданій), то похідна неявної функції знаходиться по формулі

Правило Лопіталя.

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность

типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

· Если и , то .

· Если и , то аналогично .

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

Диференціал функції. Диференціал складної функції. Основні властивості диференціала.

Диференціалом dy називають також диференціал першого порядку. З виразу (4) бачимо що диференціал функції є функція двох незалежних змінних х і х. Якщо y = х, то у' = х' =1, тому dy = dxx. Тобто диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту незалежної змінної

На цій підставі для будь-якої диференційованої функції y = f (x) можемо записати так: dy = f' (x) dx (5).

Ланцюгове правило (правило диференціювання складної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.

Якщо функція f має похідну в точці , а функція g має похідну в точці , тоді складна функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці .

Властивості диференціала.

Властивість 1. Диференціал суми дорівнює сумі диференціалів.

d (a + b) = da + db

Дана властивість застосовується незалежно від того, яка функція дана — тригонометрична або звичайна.

Властивість 2. Постійний множник можна винести за знак диференціала.

d (2a) = 2d (a)

Властивість 3. Твір складної диференційної функції дорівнює добутку однієї простої функції на диференціал другий, складеному з твором другої функції на диференціал першої. Виглядає це таким чином:

d (uv) = du * v + dv * u

Таким прикладом може служити функція y = x sinx, диференціал якої дорівнює:

y ‘= (xsinx)’ = (x) ‘* sinx + (sinx)’ * x = sinx + cosx ^ 2.