Веерные классы Фиттинга и их основные свойства

Определение 54. Функцию {классы Фиттинга групп} называют - радикальной функцией простого натурального аргумента или, коротко, -функцией. Функцию {классы Фиттинга групп}называют радикальной функцией простого натурального аргумента или, коротко, -функцией.

Лемма 10. Пусть – – функция, - -функция и и для всех }. Тогда является классом Фиттинга.

Определение 55. Класс Фиттинга называют -веерным, если , где и - некоторые -функция и -функция соответственно. Функцию называют -спутником, а функцию -направлением -веерного класса Фиттинга . Пусть - -функция. Класс Фиттинга называется веерным, а называется -спутником веерного класса Фиттинга .

Лемма 11. Пусть группа минимального порядка из , где и классы Фиттинга. Следовательно, комонолитична с комонолитом .

Лемма 12. Пусть -класс Фиттинга и . Тогда , где - -функция такая, что , для всех и -произвольная -функция. В частности, классы Фиттинга и (1) являются -веерными для любого непустого множества .

Доказательство.

Пусть , где и – из условия леммы. Покажем, что . Пусть . Тогда и из следует, что . Таким образом, и, значит, .

Предположим, что и -группа наименьшего порядка из . Тогда является комонолитической группой с комонолитом . Поскольку , то и . Пусть . Тогда и , что невозможно. Следовательно . Лемма доказана.

Лемма 13. Пусть , где -произвольная -функция. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) , где для любого ;

2) , где и для всех ;

3) если и , то и для всех .

Доказательство:

1) Пусть , где - -функция из условия леммы. Покажем, что . Так как для любого , то . Пусть . Тогда по определению классов Фиттинга, и для любого . Так как , то и для любого , следовательно и для любого . По определению -веерного класса Фиттинга заключаем, что . Таким образом, . Тем самым мы показали, что .

2) Пусть , где - из условия леммы. Покажем, что . Пусть . Тогда и для любого и, кроме того, . Таким образом и для любого . Следовательно, по определению -веерного класса Фиттинга, имеем . Значит . Допустим, что . Пусть , -группа минимального порядка с таким свойством. Тогда, по лемме Ц, комонолитична с комонолитом . Допустим, что . Тогда, так как , то . Противоречие. Значит, и . Поэтому и из . Следовательно, . Поэтому . Так как , то есть и , то . Далее, из следует, что для любого . Таким образом, по определению -веерного класса Фиттинга, заключаем, что . Противоречие. Следовательно, допущение не верно и .

3) Пусть и . Так как (по условию), то существует . Поэтому и, значит, . Из (так как ). А получаем, что следовательно для любого .

Определение 56. Направление -веерного класса Фиттинга назовают:

-направлением, если для любого ;

-направлением, если для любого ;

-направлением, если для любого ;

-направлением, если формация Фиттинга -разрешима для любого .

Пусть – множество направлений -веерного класса Фиттинга . -функцию называют -направлением -веерного класса Фиттинга , если является -направлением для любого . Направление -расслоенного класса Фиттинга называется -направлением , если для любой неабелевой группы .

Лемма 14. Пусть с -направлением и . Тогда

1) Если , и , то .

2) Если и , то .

3) Если , для любого и , то .

Доказательство:

1) Так как и , то . По условию . Пусть . Тогда . Поскольку является -направлением, то и по лемме 1, п.9 получим и, значит, по определению , имеем .

2) По условию и . Пусть . Так как является - группой и является – направлением, то по лемме 1, п.9 имеем для всех . По определению имеем .

3) По условию и для любого . Пусть . Тогда является - группой. Так как является -направлением, то по лемме 1, п.9 получим . Следовательно. для всех и, значит, по определению , имеем . Лемма доказана.

3.2 Произведение -веерных классов Фиттинга.

Лемма 15. Пусть и - -классы Фиттинга с -направлением , и - внутренние -спутники и соответственно. Если с -спутником таким, что , для всех и для всех , то и является внутренним -спутником класса Фиттинга .

Доказательство:

Пусть . Допустим, что . Пусть и группа наименьшего порядка с таким свойством. Тогда – комонолитическая группа с комонолитом . Из следует, что . Допустим, что является - группой. Тогда и по лемме 14 п. 2) , что невозможно. Следовательно, - -группа. Из следует, что .

Пусть . Тогда для всех и для всех . Следовательно, . Получили противоречие.

Пусть . Тогда , и . Отсюда следует, что для любого . Тогда по лемме 14 п. 3) имеем . Получили противоречие. Лемма доказана.

Теорема 13. Пусть и - -классы Фиттинга с внутренними -спутниками и соответственно и с -направлением таким, что . Тогда является -веерным классом Фиттинга с направлением и с внутренним -спутником таким, что , для всех и для всех .

Доказательство:

Пусть . Пусть , причем , для любого , для всех . Покажем что .

а) Покажем, что . Так как , , следовательно, , следовательно,

б) Допустим, что . Пусть , -группа наименьшего порядка с таким свойством. Тогда по лемме Ц* комонолитична с комонолитом . Так как , то , для всех , . Так как , , то (по определению -радикала группы ). Пусть . Тогда , следовательно, . По условию, , следовательно, для всех , следовательно, . По лемме * . Так как группа комонолитична, то и, значит, . Поэтому . Из и следует, что и, значит, . Поэтому и . Из следует, что . Допустим, что . Тогда . Так как , то по лемме 14 п. 1) . Получили противоречие. Следовательно, . Из следует, что . Тогда для любого имеем и, значит, . Поэтому для любого . В силу леммы 10 можем считать, что . Из , следует, что . Тогда , и, значит, . Получили противоречие. Следовательно, . Теорема доказана.

Следствие 2. Пусть и - -полные классы Фиттинга с внутренними -спутниками и соответственно. Тогда является -полным классом Фиттинга с внутренним -спутником таким, что , для всех и для всех .

Следствие 3. Пусть и - -локальные классы Фиттинга с внутренними -спутниками и соответственно. Тогда является -локальным классом Фиттинга с внутренним -спутником таким, что , для всех и для всех .