Веерные классы Фиттинга и их основные свойства
Определение 54. Функцию {классы Фиттинга групп} называют
- радикальной функцией простого натурального аргумента или, коротко,
-функцией. Функцию
{классы Фиттинга групп}называют радикальной функцией простого натурального аргумента или, коротко,
-функцией.
Лемма 10. Пусть –
– функция,
-
-функция и
и
для всех
}. Тогда
является классом Фиттинга.
Определение 55. Класс Фиттинга называют -веерным, если
, где
и
- некоторые
-функция и
-функция соответственно. Функцию
называют -спутником, а функцию
-направлением
-веерного класса Фиттинга
. Пусть
-
-функция. Класс Фиттинга
называется веерным, а
называется
-спутником веерного класса Фиттинга
.
Лемма 11. Пусть группа минимального порядка из
, где
и
классы Фиттинга. Следовательно,
комонолитична с комонолитом
.
Лемма 12. Пусть -класс Фиттинга и . Тогда
, где
-
-функция такая, что
,
для всех
и
-произвольная
-функция. В частности, классы Фиттинга
и (1) являются
-веерными для любого непустого множества
.
Доказательство.
Пусть , где
и
– из условия леммы. Покажем, что
. Пусть
. Тогда
и из
следует, что
. Таким образом,
и, значит,
.
Предположим, что и -группа наименьшего порядка из
. Тогда
является комонолитической группой с комонолитом
. Поскольку
, то
и
. Пусть
. Тогда
и
, что невозможно. Следовательно
. Лемма доказана.
Лемма 13. Пусть , где -произвольная
-функция. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) , где
для любого
;
2) , где
и
для всех
;
3) если и
, то
и
для всех
.
Доказательство:
1) Пусть , где
-
-функция из условия леммы. Покажем, что
. Так как
для любого
, то
. Пусть
. Тогда по определению классов Фиттинга,
и
для любого
. Так как
, то
и
для любого
, следовательно
и
для любого
. По определению -веерного класса Фиттинга заключаем, что
. Таким образом,
. Тем самым мы показали, что
.
2) Пусть , где
- из условия леммы. Покажем, что
. Пусть
. Тогда
и
для любого
и, кроме того,
. Таким образом
и
для любого
. Следовательно, по определению -веерного класса Фиттинга, имеем
. Значит
. Допустим, что
. Пусть
,
-группа минимального порядка с таким свойством. Тогда, по лемме Ц,
комонолитична с комонолитом
. Допустим, что
. Тогда, так как
, то
. Противоречие. Значит,
и
. Поэтому
и из
. Следовательно,
. Поэтому
. Так как
, то есть
и
, то
. Далее, из
следует, что
для любого
. Таким образом, по определению -веерного класса Фиттинга, заключаем, что
. Противоречие. Следовательно, допущение не верно и
.
3) Пусть и
. Так как
(по условию), то существует
. Поэтому
и, значит,
. Из
(так как
). А получаем, что
следовательно
для любого
.
Определение 56. Направление -веерного класса Фиттинга назовают:
-направлением, если
для любого
;
-направлением, если
для любого
;
-направлением, если
для любого
;
-направлением, если формация Фиттинга
-разрешима для любого
.
Пусть – множество направлений -веерного класса Фиттинга
.
-функцию
называют
-направлением
-веерного класса Фиттинга
, если
является
-направлением для любого
. Направление
-расслоенного класса Фиттинга называется
-направлением
, если
для любой неабелевой группы
.
Лемма 14. Пусть с -направлением
и
. Тогда
1) Если ,
и
, то
.
2) Если и
, то
.
3) Если ,
для любого
и
, то
.
Доказательство:
1) Так как и
, то
. По условию
. Пусть
. Тогда
. Поскольку
является -направлением, то
и по лемме 1, п.9 получим
и, значит, по определению
, имеем
.
2) По условию и
. Пусть
. Так как
является
- группой и
является
– направлением, то по лемме 1, п.9 имеем
для всех
. По определению
имеем
.
3) По условию и
для любого
. Пусть
. Тогда
является
- группой. Так как
является -направлением, то по лемме 1, п.9 получим
. Следовательно.
для всех
и, значит, по определению
, имеем
. Лемма доказана.
3.2 Произведение -веерных классов Фиттинга.
Лемма 15. Пусть и
-
-классы Фиттинга с -направлением
,
и
- внутренние
-спутники
и
соответственно. Если
с -спутником
таким, что
,
для всех
и
для всех
, то
и
является внутренним
-спутником класса Фиттинга
.
Доказательство:
Пусть . Допустим, что
. Пусть
и группа
наименьшего порядка с таким свойством. Тогда
– комонолитическая группа с комонолитом
. Из
следует, что
. Допустим, что
является
- группой. Тогда
и по лемме 14 п. 2)
, что невозможно. Следовательно,
-
-группа. Из
следует, что
.
Пусть . Тогда
для всех
и
для всех
. Следовательно,
. Получили противоречие.
Пусть . Тогда
,
и
. Отсюда следует, что
для любого
. Тогда по лемме 14 п. 3) имеем
. Получили противоречие. Лемма доказана.
Теорема 13. Пусть и
-
-классы Фиттинга с внутренними -спутниками
и
соответственно и с
-направлением
таким, что
. Тогда
является
-веерным классом Фиттинга с направлением
и с внутренним
-спутником
таким, что
,
для всех
и
для всех
.
Доказательство:
Пусть . Пусть
, причем
,
для любого
,
для всех
. Покажем что
.
а) Покажем, что . Так как
,
, следовательно,
, следовательно,
б) Допустим, что . Пусть
,
-группа наименьшего порядка с таким свойством. Тогда по
лемме Ц* комонолитична с комонолитом
. Так как
, то
, для всех
,
. Так как
,
, то
(по определению -радикала группы
). Пусть
. Тогда
, следовательно,
. По условию,
, следовательно,
для всех
, следовательно,
. По
лемме * . Так как группа
комонолитична, то
и, значит,
. Поэтому
. Из
и
следует, что
и, значит,
. Поэтому
и
. Из
следует, что
. Допустим, что
. Тогда
. Так как
, то по лемме 14 п. 1)
. Получили противоречие. Следовательно,
. Из
следует, что
. Тогда для любого
имеем
и, значит,
. Поэтому
для любого
. В силу
леммы 10 можем считать, что . Из
, следует, что
. Тогда
,
и, значит,
. Получили противоречие. Следовательно,
. Теорема доказана.
Следствие 2. Пусть и
-
-полные классы Фиттинга с внутренними -спутниками
и
соответственно. Тогда
является -полным классом Фиттинга с внутренним
-спутником
таким, что
,
для всех
и
для всех
.
Следствие 3. Пусть и
-
-локальные классы Фиттинга с внутренними -спутниками
и
соответственно. Тогда
является -локальным классом Фиттинга с внутренним
-спутником
таким, что
,
для всех
и
для всех
.